Perpendicularité et parallélisme

Points, segments et droites

Définitions 

Un point est la plus petite unité de géométrie. Il est représenté par une croix sur une droite et nommé par une lettre majuscule.

Une droite est une ligne droite infinie. La droite n’a ni début, ni fin et n’est donc pas mesurable. 

Tous les points la composant sont alignés.

Pour savoir si des points sont alignés, on trace une droite reliant deux des points, si le troisième est sur la droite alors les trois points sont alignés. Elle est nommée entre parenthèses par les points la composant.

Exemple 

En traçant une droite entre A et B on s’aperçoit que C est sur la droite.  A, B et C sont donc alignés

Un segment est une portion de droite bornée par un début et une fin. On peut donc déterminer sa longueur, c’est la distance entre ses bornes (A et B). On le note entre crochets : AB

Le milieu d’un segment est le point situé à équidistance des deux extrémités. Pour déterminer le milieu d’un segment on peut mesurer la longueur du segment et placer à la moitié de cette longueur le milieu. Il faut ensuite vérifier que les deux nouveaux segments ont la même longueur.

Un segment appartient à une droite si ce dernier est sur cette droite

Exemple 

 D est le milieu du segment AB. La longueur AD est donc égale à la longueur DB.

Parallèle et perpendiculaire

Les lignes parallèles sont toujours à la même distance les unes des autres.

Les lignes parallèles ne se croisent jamais.

Les lignes perpendiculaires sont à angle droit (90°) l'une par rapport à l'autre.

Propriété des droites parallèles et perpendiculaires

Propriété 1 

Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

Ainsi si (d) ∥ (d’) et que (d) ∥ (d’’) alors d’après la première propriété (d’) ∥ (d’’).

Exemple 

On sait que (d) ∥ (d’) et (d)∥ (d’’). Alors d’après la propriété 1 (d’)∥ (d’’).

Propriété 2 

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Ainsi si (d) ∥ (d’) et (d’’) ⊥ (d) alors d’après la propriété 2 (d’) ⊥ (d’’).

Exemple 

On sait que (d) ∥ (d’) et (d’’) ⊥ (d). Alors d’après la propriété 2 (d’) ⊥ (d’’).

Propriété 3 

Si deux droites sont perpendiculaires alors toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre.

Ainsi si (d) ⊥ (d’) et (d) ⊥ (d’’) alors d’après la propriété 3, (d’) ∥ (d’’).

Exemple 

On sait que (d) ⊥ (d’) et (d’’) ⊥ (d). Alors d’après la propriété 3, (d’) ∥ (d’’).

Distances entre deux points et entre un point et une droite

La distance entre deux points est la longueur séparant ces deux points. Elle se détermine avec l’aide d’une règle graduée.

La distance entre un point et une droite est la longueur entre ce point et un point de la droite. Il faut choisir le point de la droite ayant la distance la plus courte possible. Pour choisir ce point on utilise l’équerre. Car la perpendiculaire représente la distance la plus courte.

Exemple 

On veut mesurer la distance de B par rapport à (AC) et de A par rapport à (BC). Est-ce possible ?

On voit que (AB) est perpendiculaire à (AC) donc la distance AB est la plus courte possible. 

La distance entre B et (AC) est de 4 cm.

On voit que (AB) n’est pas perpendiculaire à (BC). On ne possède pas d’indications nous permettant de déterminer la distance de A par rapport à (BC).

Médiatrice d’un segment

Définition et traçage 

Une médiatrice d’un segment est la droite coupant perpendiculairement ce segment en son milieu.

Exemple 

La droite (d) est la médiatrice de [AB].  Elle coupe le segment perpendiculairement en son milieu.

Elle est tracée à l’aide d’une règle graduée et d’une équerre ou avec un compas et une règle.

Pour tracer la médiatrice à l’équerre on trouve le milieu du segment, puis on place l’équerre perpendiculairement au segment afin de tracer la droite passant par son milieu.

Afin de tracer la médiatrice avec le compas, on note quatre arcs de cercle de rayon égal : deux ayant pour centre une extrémité du segment, deux autres ayant pour centre la seconde extrémité. Les arcs de cercle vont se croiser en deux points permettant de tracer la médiatrice.

Caractérisation

Si un point C est sur la médiatrice du segment AB, alors les distances entre C et A et C et B sont égales. On note cette égalité : CA = CB

Si un point C vérifie cette égalité alors il est sur la médiatrice du segment $$\lbrack AB \rbrack$$​.