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Problèmes d'optimisation : fonctions cibles

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Vidéo Explicative

Enseignant: Elisa

Résumés

Problèmes d'optimisation : fonctions cibles

Définition 

Dans un problème d’optimisation, on recherche le minimum ou le maximum d'une quantité : 

  • Profit-maximum 
  • Coût-minimum 
  • Superficie-maximum 
  • Volume-maximum 
  • Etc. 

Souvent, on doit décrire la quantité à l’aide d’une fonction et calculer le maximum ou le minimum de cette fonction. 



Résoudre un problème d’optimisation 

Les exercices sur les problèmes d’optimisation sont très différents. La méthode suivante peut être utile pour de nombreux exercices. 


Méthode 

1.
Lis le texte et souligne toutes les informations importantes : la valeur cible, les inconnues et les contraintes.
2.
Décris la valeur cible à l’aide d’une fonction (fonction cible).
Conseil : Souvent, la fonction dépend de deux inconnues.
3.
En utilisant les contraintes, décris les relations entre les inconnues sous forme d’équations.
4.
Combine les équations avec la fonction cible pour qu'il ne reste qu'une seule inconnue.
5.
Détermine le maximum respectivement le minimum de la fonction :
Calcule la dérivée première et résous l’équation :f′(x)=0 f' (x)=0f′(x)=0​.
Conseil : Construit le tableau de variation de la fonction pour déterminer le minimum ou le maximum que tu cherches.
6.
Détermine la valeur recherchée.

​

Fonctions cibles typiques 

Profit

Profit =Revenu−Deˊpenses=Revenu-Dépenses =Revenu−Deˊpenses​​

Superficie

Rectangle =largeur×longueur=largeur×longueur =largeur×longueur​​
Triangle =base×hauteur∶2=base×hauteur∶2 =base×hauteur∶2​​
Cercle =π×rayon2=π×rayon^2 =π×rayon2​​

Volume

Pavé droit =largeur×longueur×hauteur=largeur×longueur×hauteur =largeur×longueur×hauteur​​
Pyramide =largeur×longueur×hauteur∶3=largeur×longueur×hauteur∶3 =largeur×longueur×hauteur∶3​​
Cylindre =π×rayon2×hauteur=π×rayon^2×hauteur =π×rayon2×hauteur​​
Cône =π×rayon2×hauteur∶3=π×rayon^2×hauteur∶3 =π×rayon2×hauteur∶3​​


Exemple 

Une clôture doit être érigée en rectangle. Elle fait 100 m100\text{ m}100 m​ de long et la zone clôturée doit être maximale. Quelle largeur LLL​ et quelle longueur lll​ doit avoir le rectangle ? 


Fonction cible : aire à optimiser


A=L×lA=L\times l A=L×l​​


Contrainte : périmètre =100 m=100\text{ m}=100 m​: 


100=2L+2l100=2L+2l 100=2L+2l​​


Résous en lll​ : 


l=50−Ll=50-L l=50−L​​


Combine avec la fonction : 


​A(l)=L×(50−L)=50L−L2A(l)=L×(50-L)=50L-L^2 A(l)=L×(50−L)=50L−L2​​


Détermine le maximum : 

            Calcule la dérivée : 

A′(l)=50−2LA' (l)=50-2L A′(l)=50−2L​​

            Résous f′(x)=0f' (x)=0f′(x)=0​ : 

0=50−2L0=50-2L 0=50−2LL=25L=25 L=25​​


Remplace le LLL​ pour trouver lll​ : 


l=50−25=25l=50-25=25 l=50−25=25​​


Le rectangle ayant la plus grande surface mesure 25 m de long et 25 m de large.

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Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:

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Problèmes d'optimisation : fonctions cibles

Unité 1

Problèmes d'optimisation : fonctions cibles

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quel est le but de l'optimisation ?

Souvent, on doit décrire la quantité à l’aide d’une fonction et calculer le maximum ou le minimum de cette fonction.

Qu'est-ce qui caractérise un problème d'optimisation ?

Dans un problème d’optimisation, on recherche le minimum ou le maximum d'une quantité.

Comment résoudre un problème d'optimisation ?

1. Lis le texte et souligne toutes les informations importantes : la valeur cible, les inconnues et les contraintes. 2. Décris la valeur cible à l’aide d’une fonction (fonction cible). 3. En utilisant les contraintes, décris les relations entre les inconnues sous forme d’équations. 4. Combine les équations avec la fonction cible pour qu'il ne reste qu'une seule inconnue. 5. Détermine le maximum respectivement le minimum de la fonction : Calcule la dérivée première et résous l’équation : f^' (x)=0. 6. Détermine la valeur recherchée.

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