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Extremums : définition et détermination

Extremums : définition et détermination

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Enseignant: Elisa

Résumés

Extremums : définition et détermination 

Déterminer les extremums locaux 

La méthode suivante est utilisée pour déterminer les extremums locaux : 


Méthode 

1.
Détermine la dérivée f(x)f'(x)​.
2.
Calcule les racines xEx_E​ de la dérivée première. 
f(xE)=0f' (x_E )=0 ​​
Ce sont de potentiels extremums.
3.
Observe le signe de la dérivée aux alentours des racines. Si et seulement si les signes sont différents des deux côtés, il s’agit d’un extremum. 
Si la dérivée est positive à gauche et négative à droite, l’extremum est un maximum.
Si la dérivée est négative à gauche et positive à droite, l’extremum est un minimum
Conseil : Construits le tableau de variation de la fonction.
4.
Calcule les valeurs de yy​ :
Introduis les extremumsxE x_E​ dans la fonction ff​, pour obtenir les valeurs de yy​ correspondantes.


Exemple  

Détermine les extremums locaux de la fonction : f(x)=x33x29x+27f(x)=x^3-3x^2-9x+27

Dérivée :
Mathématiques; Dérivation; 1re générale; Extremums : définition et détermination
f(x)=3x26x9f' (x)=3x^2-6x-9 ​​
Trouve-les xx​ pour lesquels f(x)=0 f' (x)=0 :
3x26x9=03x^2-6x-9=0 ​​
Résous :
xE1=1,xE2=3x_{E1}=-1,\qquad x_{E2}=3 ​​
Détermine le signe de la dérivée aux alentours des racines :
f(2)=3×(2)26×(2)9=15f(0)=9f(4)=3×426×49=15f' (-2)=3\times(-2)^2-6\times(-2)-9=15\\f' (0)=-9 \\f' (4)=3\times4^2-6\times4-9=15 ​​
Comme les signes sont différents autour de xE1x_{E1}​ et qu’ils sont différents autour de xE2x_{E2}, il s’agit de deux extremums.
La dérivée est positive à gauche et négative à droite de xE1x_{E1}​, c’est donc un maximum.
La dérivée est négative à gauche et positive à droite de
xE1x_{E1}​, c’est donc un minimum.
Valeurs de y correspondantes :

f(1)=32f(3)=0f(-1)=32\\f(3)=0 ​​

Extremums : maximum en (1;32)(-1 ;32)​ et minimum en (3;0)(3;0).

Mathématiques; Dérivation; 1re générale; Extremums : définition et détermination


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Extremums : définition et détermination

Unité 1

Extremums : définition et détermination

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment trouver le minimum d'une fonction ?

Quand une fonction admet un maximum ?

Comment trouver les extremum locaux ?

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