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Dérivée des fonctions puissances : cas particuliers

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Dérivée des fonctions puissances : cas particuliers

Fonctions puissances 

Les fonctions puissances sont des fonctions qui ont xx​ comme base.
Le coefficient k est un nombre réel : kRk\in\R​.
L'exposant n est un nombre rationnel : nQn\in\Bbb Q​. 



Règles de dérivation 

Les règles suivantes peuvent être utilisées pour directement former la dérivée d'une fonction puissance. 

Fonction f(x)f(x)​​
Dérivée f(x)f'(x)​​
Exemple

Cas Général

kxnkx^n​​
k×n×xn1k\times n\times x^{n-1}​​
f(x)=f(x)=​​
2x32x^3​​
f(x)=f'(x)=​​
2×3×x31=6x22\times 3\times x^{3-1}=6x^2​​



Cas particuliers 

Fonction f(x)f(x)​​
Dérivée f(x)f'(x)​​
Exemple

Inverse

1x\frac1x​​
Convertis la fraction à l’aide d’un exposant.
Puis dérive normalement.

f(x)=f(x)=​​
1x=x1\frac1x=x^{-1}​​
f(x)=f'(x)=​​
(1)×x11=x2=1x2(-1)\times x^{-1-1}=x^{-2}=-\frac{1}{x^2}​​

Racine

x\sqrt x​​
Convertis la racine à l’aide d’un exposant.
Puis dérive normalement.

f(x)=f(x)=​​
x=x12\sqrt x= x^{\frac12}​​
f(x)=f'(x)=​​
12×x121=12×x12=12x12=12x\frac12\times x^{\frac12-1}=\frac12 \times x^{-\frac12}=\frac{1}{2x^{\frac12}}=\frac{1}{2\sqrt x}​​



Note : La fonction inverse et la fonction racine ne sont pas dérivables en 00​. 



Règles particulières 

Fonction f(x)f(x)​​
Dérivée f(x)f'(x)​​
Exemple

Constante

kk​​
00​​
f(x)=f(x)=​​
55​​
f(x)=f'(x)=​​
00​​

Puissance 1

kxkx​​
kk​​
f(x)=f(x)=​​
3x3x​​
f(x)=f'(x)=​​
33​​

Droite

ax+bax+b​​
aa​​
f(x)=f(x)=​​
2x+12x+1​​
f(x)=f'(x)=​​
22​​



Mathématiques; Dérivation; 1re générale; Dérivée des fonctions puissances : cas particuliers

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Dérivée des fonctions puissances : règles

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

  • Question : Comment dériver une racine ?

    Réponse : Convertis la fraction à l’aide d’un exposant. Puis dérive normalement.

  • Question : Comment dériver une fonction au carré ?

    Réponse : k×n×x^(n-1)

  • Question : Comment dériver une fonction puissance ?

    Réponse : Les règles suivantes peuvent être utilisées pour directement former la dérivée d'une fonction puissance.

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