Une fonction est dérivable en un point, si le nombre dérivé en ce point existe et est fini. On peut vérifier la dérivabilité en utilisant une des limites suivantes :

$\lim_{h\rarr0}⁡\frac{f(x_A+h)-f(x_A)}{h}=\lim_{x\rarr x_A}\frac{f(x)-f(x_A)}{x-x_A}⁡$

Une fonction est dite « dérivable » lorsqu’elle est dérivable en tous points.

Exemple de fonctions dérivables
Fonctions polynomiales, exponentielles, sinus, cosinus, etc.

Exemple de fonction non dérivable
La fonction $|x|$ n’est pas dérivable au point $(0 ; 0)$ .

Comment déterminer si une fonction est dérivable ?

MÉTHODE

1.	Détermine les points où la dérivabilité doit être vérifiée : les points au début et à la fin des intervalles (si la fonction est définie par assemblage de fonctions dérivables) ainsi que les points où le graphe forme un « angle » ou une « pointe » (voir exemple ci-dessus).
2.	Calcule la limite à gauche et la limite à droite de la formule : $\lim_{x\rarr x_a \, (x<x_a)}=\frac{f(x)-f(x_a)}{x-x_a}$ et $\lim_{x\rarr x_a \, (x>x_a)}=\frac{f(x)-f(x_a)}{x-x_a}$
3.	Compare les limites. Si les limites sont identiques la fonction est dérivable en ce point, si elles diffèrent la fonction n’est pas dérivable en ce point.

Exemple

$f(x=)\begin{cases}x^3-2x-3,&\text{pour } x<0 \\x-3, &\text{pour } x\ge0\end{cases}$

La fonction est construite à partir de deux fonctions polynomiales. Elle est donc dérivable sur les deux intervalles $x<0$ et $x>0$ .

Le seul point à vérifier est $x=0$ (jonction des intervalles).

Vérifie la dérivabilité en $0$ :

Limite à gauche :	$\lim_{x\rarr 0 \, (x<0)}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rarr 0 \, (x<0)}\frac{x^3-2x-3-(-3)}{x}=\lim_{x\rarr 0 \, (x<0)}x^2-2=-2$
Limite à droite :	$\lim_{x\rarr 0 \, (x>0)}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rarr 0 \, (x>0)}\frac{x-3-(-3)}{x}=1$

Comme $-2\ne1$ , la fonction n’est pas dérivable au point $0$ .

Exercices

Facile

3 Tâches

Moyen

3 Tâches

Difficile

3 Tâches

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment savoir si f est dérivable ?

Détermine les points où la dérivabilité doit être vérifiée : les points au début et à la fin des intervalles (si la fonction est définie par assemblage de fonctions dérivables) ainsi que les points où le graphe forme un « angle » ou une « pointe » (voir exemple ci-dessus). Calcule la dérivabilité à gauche et la dérivabilité à droite en ces points. Compare les dérivées. Si les dérivées sont identiques la fonction est dérivable en ce point, si elles diffèrent la fonction n’est pas dérivable en ce point.

Quelles sont les conditions pour qu'une fonction soit dérivable ?

Une fonction est dite « dérivable » lorsqu’elle est dérivable en tous points.

Comment savoir si une fonction est dérivable ?

Une fonction est dérivable en un point, si la dérivée en ce point existe et est finie.

Accueil

Mathématiques

Dérivation

Déterminer la dérivabilité d'une fonction

Vidéos explicatives

Résumés

Exercices

Choisir une leçon

Variables aléatoires

Variables aléatoires : discrètes et continues

Lois de probabilités : définitions et tableaux

Espérance, variance et écart type

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles : propriétés et indépendance

Arbre pondéré : définition et méthode

Formule des probabilités totales

Probabilités

Représentation d'expériences aléatoires composées

Échantillonnage : fluctuation et intervalle

Théorie des ensembles et diagramme de Venn

Cercles

Équation standard du cercle

Position relative : cercle et droite

Droites

Équation de droite et alignement de points

Projection orthogonale : coordonnées du projeté

Intersection d'une droite et d'une parabole

Vecteurs

Produit scalaire : formule angulaire et règles de calcul

Trigonométrie

Formule d'Al-Kashi

Loi des sinus : formules et applications

Trigonométrie

Cercle trigonométrique

Dérivation

Fonctions trigonométriques

Fonction Sinus et cosinus : radian, maximum et minimum

Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles : définitions et propriétés

Processus de croissance ou de décroissance

Fonctions polynomiales

Fonction puissance avec exposant naturel

Fonctions polynomiales : définition et degré

Intersection de fonctions polynomiales

Fonctions

Fonctions : opérations sur les fonctions

Fonctions : fonctions paires et impaires

Combinatoire

Combinatoires : factorielle

Suites

Suites : représentations, arithmétiques et géométriques

Monotonie de suites : croissante et décroissante

Limites de suites : définition et méthode

Suite de Fibonacci : définition et construction

Suite de Syracuse et sa conjecture

Autres équations

Équations de degré supérieur à 2

Inéquations

Inéquations du second degré : résolution

Équations du second degré

Équations du second degré - formes générale et canonique

Équations : calcul direct

Équations : factorisation et résolution

Équations : complétion du carré

Équations : méthode du discriminant

Equations du second degré - Résumé des méthodes

Factorisation

Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés

Factorisation : approche à deux termes

Développement d'expressions littérales

Factorisation : identités remarquables et approche à deux termes

Division polynomiale : factoriser et calcul

Fonctions

Fonctions : racines et ordonnée à l'origine

Fonctions linéaires

Fonctions linéaires : affine, linéaire et constante

Fonctions du second degré

Fonctions du second degré : définition et graphe

Fonctions du second degré : forme canonique

Fonctions du second degré : optimisation

Problèmes avec fonctions du second degré

Vidéo Explicative

Enseignant: Elisa

Résumés

Déterminer la dérivabilité d'une fonction

Définition

Une fonction est dérivable en un point, si le nombre dérivé en ce point existe et est fini. On peut vérifier la dérivabilité en utilisant une des limites suivantes :

$\lim_{h\rarr0}⁡\frac{f(x_A+h)-f(x_A)}{h}=\lim_{x\rarr x_A}\frac{f(x)-f(x_A)}{x-x_A}⁡$

Une fonction est dite « dérivable » lorsqu’elle est dérivable en tous points.

Exemple de fonctions dérivables
Fonctions polynomiales, exponentielles, sinus, cosinus, etc.

Exemple de fonction non dérivable
La fonction $|x|$ n’est pas dérivable au point $(0 ; 0)$ .

Comment déterminer si une fonction est dérivable ?

MÉTHODE

1.	Détermine les points où la dérivabilité doit être vérifiée : les points au début et à la fin des intervalles (si la fonction est définie par assemblage de fonctions dérivables) ainsi que les points où le graphe forme un « angle » ou une « pointe » (voir exemple ci-dessus).
2.	Calcule la limite à gauche et la limite à droite de la formule : $\lim_{x\rarr x_a \, (x<x_a)}=\frac{f(x)-f(x_a)}{x-x_a}$ et $\lim_{x\rarr x_a \, (x>x_a)}=\frac{f(x)-f(x_a)}{x-x_a}$
3.	Compare les limites. Si les limites sont identiques la fonction est dérivable en ce point, si elles diffèrent la fonction n’est pas dérivable en ce point.

Exemple

$f(x=)\begin{cases}x^3-2x-3,&\text{pour } x<0 \\x-3, &\text{pour } x\ge0\end{cases}$

La fonction est construite à partir de deux fonctions polynomiales. Elle est donc dérivable sur les deux intervalles $x<0$ et $x>0$ .

Le seul point à vérifier est $x=0$ (jonction des intervalles).

Vérifie la dérivabilité en $0$ :

Limite à gauche :	$\lim_{x\rarr 0 \, (x<0)}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rarr 0 \, (x<0)}\frac{x^3-2x-3-(-3)}{x}=\lim_{x\rarr 0 \, (x<0)}x^2-2=-2$
Limite à droite :	$\lim_{x\rarr 0 \, (x>0)}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rarr 0 \, (x>0)}\frac{x-3-(-3)}{x}=1$

Comme $-2\ne1$ , la fonction n’est pas dérivable au point $0$ .

Exercices

Facile

3 Tâches

Moyen

3 Tâches

Difficile

3 Tâches

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment savoir si f est dérivable ?

Quelles sont les conditions pour qu'une fonction soit dérivable ?

Une fonction est dite « dérivable » lorsqu’elle est dérivable en tous points.

Comment savoir si une fonction est dérivable ?

Une fonction est dérivable en un point, si la dérivée en ce point existe et est finie.