Déterminer la dérivabilité d'une fonction

Définition 

Une fonction est dérivable en un point, si le nombre dérivé en ce point existe et est fini. On peut vérifier la dérivabilité en utilisant une des limites suivantes : 

$$\lim_{h\rarr0}⁡\frac{f(x_A+h)-f(x_A)}{h}=\lim_{x\rarr x_A}\frac{f(x)-f(x_A)}{x-x_A}⁡$$​ 

Une fonction est dite « dérivable » lorsqu’elle est dérivable en tous points. 

Exemple de fonctions dérivables
Fonctions polynomiales, exponentielles, sinus, cosinus, etc. 

Exemple de fonction non dérivable
La fonction $$|x|$$​ n’est pas dérivable au point $$(0 ; 0)$$​. 

Comment déterminer si une fonction est dérivable ? 

MÉTHODE 

Exemple 

​$$f(x=)\begin{cases}x^3-2x-3,&\text{pour } x<0 \\x-3, &\text{pour } x\ge0\end{cases}$$​​

La fonction est construite à partir de deux fonctions polynomiales. Elle est donc dérivable sur les deux intervalles $$x<0$$​ et $$x>0$$​. 

Le seul point à vérifier est $$x=0$$ (jonction des intervalles). 

Vérifie la dérivabilité en $$0$$ :

Comme $$-2\ne1$$​, la fonction n’est pas dérivable au point $$0$$​.