La droite sécante à deux points A(xA,yA) et M(xM,yM) appartenant à la fonction est la droite passant par ces deux points. Le coefficient directeur de la sécante vaut :
xM−xAyM−yA=Δxf(xA+∆x)−f(xA)
On appelle ce nombre le taux de variation de f en xA.
Note 1 : On note souvent h ou Δx la différence entre xM et xA.
Tangente
Lorsque M se rapproche de A, c’est-à-dire quand la valeur de Δx s’approche de 0, on finit par obtenir non plus la droite sécante, mais la droite tangente. On prend donc la limite ∆x→0lim .
Δx→0)limΔxf(xA+∆x)−f(xA)=f′(xA)
On appelle nombre dérivéf′(xA) le coefficient directeur de la droite tangente.
Sécante
Sécante
Tangente
Fonction dérivée
La fonction dérivée f′(x) est la fonction qui, pour chaque x, donne son nombre dérivé. Si une fonction est croissante en un point, son nombre dérivé en ce point est positif. Si elle est décroissante, le nombre dérivé est négatif.
Note 2 : On note aussi ΔxΔy pour le taux de variation et dydx pour la fonction dérivée.
Méthode
Former la dérivée et calculer le nombre dérivé en un point.
1.
Calcule le taux de variation :
∆xf(xA+∆x)−f(xA)
2.
Simplifie la fraction autant que possible.
3.
Détermine la dérivée : calcule la limite Δx→0lim.
4.
Simplifie le terme autant que possible.
Exemple
Détermine la dérivée de f(x)=3x2+2 à l’aide du taux de variation. Calcule le nombre dérivé au point x=2.