Dérivée et taux de variation : former la dérivée

Sécante 

La droite sécante à deux points $$A(x_A,y_A)$$​ et $$M(x_M,y_M)$$​ appartenant à la fonction est la droite passant par ces deux points. Le coefficient directeur de la sécante vaut : 

​$$\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A }=\frac {f(x_A+∆x)-f(x_A )}{\Delta x}$$​​

On appelle ce nombre le taux de variation de $$f$$​ en $$x_A$$​. 

Note 1 : On note souvent $$h$$​ ou $$\Delta x$$​ la différence entre $$x_M$$​ et $$x_A$$​. 

Tangente 

Lorsque $$M$$​ se rapproche de $$A$$​, c’est-à-dire quand la valeur de $$\Delta x$$​ s’approche de $$0$$​, on finit par obtenir non plus la droite sécante, mais la droite tangente. On prend donc la limite $$\lim_{∆x\rarr0}$$​⁡ . 

​$$\lim_{\Delta x\rarr0)}\frac{f(x_A+∆x)-f(x_A )}{\Delta x}=f'(x_A )$$​​

On appelle nombre dérivé $$f' (x_A )$$​ le coefficient directeur de la droite tangente. 

Sécante	Sécante	Tangente

Fonction dérivée 

La fonction dérivée $$f'(x)$$​ est la fonction qui, pour chaque $$x$$​, donne son nombre dérivé.
Si une fonction est croissante en un point, son nombre dérivé en ce point est positif. Si elle est décroissante, le nombre dérivé est négatif. 

Note 2 : On note aussi $$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$​ pour le taux de variation et $$\frac{dx}{dy}$$​ pour la fonction dérivée. 

Méthode 

Former la dérivée et calculer le nombre dérivé en un point. 

Exemple 

Détermine la dérivée de $$f(x)=3x^2+2$$​ à l’aide du taux de variation.
Calcule le nombre dérivé au point $$x=2$$​. 

Établis le taux de variation :

​$$\frac{f(x_A+∆x)-f(x_A )}{\Delta x}=\frac{(3\times(x_A+∆x)^2+2)-(3x_A^2+2)}{\Delta x}$$​​

Simplifie : 

​$$=\frac{3(x_A^2+2x_A \Delta x+\Delta x^2+2)-3x_A^2-2}{\Delta x}=\frac{6x_A \Delta x+3\Delta x^2}{\Delta x}=6x_A+3\Delta x$$​​

Détermine la dérivée en $$x_A$$​ : 

​$$\lim_{\Delta x\rarr0}(6x_a+3\Delta x^2)=6x_a$$​​

Fonction dérivée pour tout $$x$$​ : 

​$$\underline{f' (x)=6x}$$​​

Nombre dérivé au point $$x=2 : f' (2)=6\times2=\underline{12}$$​