Dérivée et taux de variation : sécante et tangente

Sécante 

La droite sécante à deux points $$A(x_A,y_A)$$​ et $$M(x_M,y_M)$$​ appartenant à la fonction est la droite passant par ces deux points. Le coefficient directeur de la sécante vaut : 

​$$\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=\frac{f(x_A+∆x)-f(x_A )}{\Delta x}$$​​

On appelle ce nombre le taux de variation de $$f$$​ en $$x_A$$​. 

Note : On note souvent $$h$$​ ou $$\Delta x$$​ la différence entre $$x_M$$​ et $$x_A$$​. 

Tangente 

Lorsque $$M$$​ se rapproche de $$A$$​, c’est-à-dire quand la valeur de $$\Delta x$$​ s’approche de $$0$$​ dans la formule $$\frac{f(x_A+∆x)-f(x_A )}{\Delta x}$$​, on finit par obtenir non plus la droite sécante, mais la droite tangente. 

On appelle nombre dérivé $$f' (x_A )$$​ le coefficient directeur de la droite tangente. 

Sécante	Sécante	Tangente

Fonction dérivée 

La fonction dérivée $$f'(x)$$​ est la fonction qui, pour chaque $$x$$​, donne son nombre dérivé.
Si une fonction est croissante en un point, son nombre dérivé en ce point est positif. Si elle est décroissante, le nombre dérivé est négatif. 

Note : On note aussi $$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$​ pour le taux de variation et $$\frac{d y}{d x}$$​ pour la fonction dérivée.