Problèmes avec fonctions du second degré

Contexte

On s’intéresse à des problèmes qui peuvent être résolus à l’aide de fonctions polynômes du second degré.

Certaines grandeurs du problème décrivent une fonction polynôme du second degré.

Exemples

Dans certains exercices la fonction polynôme du second degré est donnée, dans d’autres, on doit la déterminer.

La solution du problème peut être donnée par un point particulier sur la fonction.

Méthode - fonction donnée

Exemple

La fonction $$f(x)=-0,005x^2+0,6x-10$$​ décrit un arc de pont. L’axe des $$x$$​ correspond au parcours sous le pont. Les valeurs de la fonction donnent la hauteur en un point $$x$$​. Les valeurs de $$x$$​ et $$y$$​ sont des distances en mètres.

Détermine :

a) La longueur du pont (au sol).

b) Le point où le pont atteint sa hauteur maximale et la hauteur des piles du pont à cet endroit. (Les piles sont les appuis verticaux qui soutiennent la structure du pont.)

Schéma :

L’axe des $$x$$​ correspond à la distance parcourue au sol.

L’axe des $$y$$​ est perpendiculaire à l’axe des $$x$$​ et correspond à la hauteur au-dessus du sol.

a) Longueur du pont = Distance entre les racines de la fonction :

Les racines sont les points où $$f(x)=0$$​ :

​$$0=-0,005x^2+0,6x-10$$​​

Trouve les racines grâce à la formule $$x_1,_2=\frac{-b±√(b^2-4ac}{2a}$$​ :

​$$x_1=\frac{-0,6+\sqrt{0,6^2-4×-0,005×-10}}{2×(-0,005)}=20$$​​

​$$x_2=\frac{-0,6-\sqrt{0,6^2-4×-0,005×-10}}{2×(-0,005)}=20$$​​

Prends la différence : $$100-20=80$$. Le pont mesure donc $$80$$ m de long.

b) Hauteur maximale = Valeur $$y$$​ du sommet :

Détermine le sommet : La valeur $$x_s$$​ du sommet est dans ce cas-ci à distance égale entre les deux racines :

​$$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{20+100}{2}=60$$​​

Détermine la valeur $$y_s$$​ :

​$$f(60)=-0,005×60^2+0,6×60-10=8$$​​

Le sommet est $$S(60;8)$$​.

Le point le plus haut est à $$60$$​​ m dans notre système de coordonnées, donc à $$40$$​​ m après le début du pont (puisque le pont commence au point $$x=20$$​​).

La pile du pont au point le plus haut mesure $$8$$​ m de haut.