Fonctions du second degré : optimisation

Problèmes d’optimisation

Dans un problème d’optimisation, une grandeur décrite doit être maximisée ou minimisée.

Ici, nous nous intéressons à des grandeurs qui peuvent être représentées par une fonction polynôme du second degré.

Solution d’un problème d’optimisation

Le maximum ou le minimum de la fonction est décrit par le sommet.

MÉTHODE

Note : Tu peux aussi mettre la fonction de second degré sous forme développée $$f(x)=ax^2+bx+c$$​ et utiliser la formule du sommet $$S(-\frac{b}{2a};f(-\frac{b}{2a}))$$​.

Exemple

Le périmètre d’un rectangle mesure $$24cm$$​. Détermine les longueurs des côtés $$x$$​ et $$y$$​ pour que l’aire du rectangle soit maximale.

Périmètre :

$$24=2x+2y$$

L’aire $$A$$ est la grandeur qu’on souhaite optimiser :

​$$A=xy$$​​

Forme le système d’équations :

​$$\left\{\begin{array}{rcr}24=2x+2y \\A=xy\end{array}\right.$$​​

Isole $$y$$​ dans la première équation et remplace-le dans la deuxième pour former la fonction $$f(x)$$​ à optimiser :

​$$\left\{\begin{array}{rcr}y=12-x \\f(x)=A=x(12-x)\end{array}\right.$$​​

Détermine la forme canonique par complétion du carré :

Déduis les coordonnées du sommet de la forme canonique :

​$$S(6;36)$$

On aurait aussi pu utiliser la formule $$-\frac{b}{2a}$$​ à partir de la forme développée :

$$-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2\times(-1)}=6$$

$$f\big(-\frac{b}{2a}\big)=-6^2+12×6=36$$

$$S(6;36)$$

Vérifie si l’extremum $$S(6;36)$$​ est un maximum ou un minimum en vérifiant les images de $$x=5$$​ et $$x=7$$​ :

$$f(5)=35$$

$$f(7)=35$$

Comme l’image de $$x=6$$​ est plus grande que les valeurs avoisinantes, $$S(6;36)$$​ est un maximum.

Remplace $$x=6$$​ pour trouver $$y$$ :

​$$y=12-6=6$$​​

Les côtés doivent donc mesurer les deux $$6\space cm$$ pour maximiser l’aire du rectangle.