Accueil

Mathématiques

Fonctions du second degré

Fonctions du second degré : optimisation

Fonctions du second degré : optimisation

Vidéos explicatives

Résumés

Exercices

Choisir une leçon

Variables aléatoires

Variables aléatoires : discrètes et continues

Lois de probabilités : définitions et tableaux

Espérance, variance et écart type

Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles : propriétés et indépendance

Arbre pondéré : définition et méthode

Formule des probabilités totales

Probabilités

Représentation d'expériences aléatoires composées

Échantillonnage : fluctuation et intervalle

Théorie des ensembles et diagramme de Venn

Cercles

Équation standard du cercle

Position relative : cercle et droite

Droites

Équation de droite et alignement de points

Projection orthogonale : coordonnées du projeté

Intersection d'une droite et d'une parabole

Vecteurs

Produit scalaire : formule angulaire et règles de calcul

Trigonométrie

Formule d'Al-Kashi

Loi des sinus : formules et applications

Trigonométrie

Cercle trigonométrique

Dérivation

Dérivée et taux de variation : former la dérivée

Déterminer la dérivabilité d'une fonction

Déterminer l'équation de la tangente

Dérivée des fonctions puissances : cas particuliers

Règles de dérivation : produit, somme et quotient

Monotonie : types et tableaux de variations

Extremums : définition et détermination

Problèmes d'optimisation : fonctions cibles

Fonctions trigonométriques

Fonction Sinus et cosinus : radian, maximum et minimum

Fonctions exponentielles

Fonctions exponentielles : définitions et propriétés

Processus de croissance ou de décroissance

Fonctions polynomiales

Fonction puissance avec exposant naturel

Fonctions polynomiales : définition et degré

Intersection de fonctions polynomiales

Fonctions

Fonctions : opérations sur les fonctions

Fonctions : fonctions paires et impaires

Combinatoire

Combinatoires : factorielle

Suites

Suites : représentations, arithmétiques et géométriques

Monotonie de suites : croissante et décroissante

Limites de suites : définition et méthode

Suite de Fibonacci : définition et construction

Suite de Syracuse et sa conjecture

Autres équations

Équations de degré supérieur à 2

Inéquations

Inéquations du second degré : résolution

Équations du second degré

Équations du second degré - formes générale et canonique

Équations : calcul direct

Équations : factorisation et résolution

Équations : complétion du carré

Équations : méthode du discriminant

Equations du second degré - Résumé des méthodes

Factorisation

Factorisation : identités remarquables du 2ᵉ et du 3ᵉ degrés

Factorisation : approche à deux termes

Développement d'expressions littérales

Factorisation : identités remarquables et approche à deux termes

Division polynomiale : factoriser et calcul

Fonctions

Fonctions : racines et ordonnée à l'origine

Fonctions linéaires

Fonctions linéaires : affine, linéaire et constante

Fonctions du second degré

Fonctions du second degré : définition et graphe

Fonctions du second degré : forme canonique

Fonctions du second degré : optimisation

Problèmes avec fonctions du second degré

Vidéo Explicative

Enseignant: Lomàn

Résumés

Fonctions du second degré : optimisation

Problèmes d’optimisation

Dans un problème d’optimisation, une grandeur décrite doit être maximisée ou minimisée.

Ici, nous nous intéressons à des grandeurs qui peuvent être représentées par une fonction polynôme du second degré.


Solution d’un problème d’optimisation

Le maximum ou le minimum de la fonction est décrit par le sommet.


MÉTHODE

1.

Détermine la fonction polynôme du second degré.

Conseil : Pour t’aider à trouver la fonction polynôme du second degré, tu peux écrire un système d’équation.

2.

Écris la fonction sous forme canonique :

f(x)=a(x−u)2+vf(x)=a(x-u)^2+vf(x)=a(x−u)2+v​​

3.

Déduis-en les coordonnées du sommet S(u;v)S(u;v) S(u;v)​ pour trouver les valeurs optimisant l’équation du second degré.

4.

Vérifie si le sommet trouvé est un maximum ou minimum.

Pour cela, étudie les points de la fonction aux alentours du sommet trouvé.

5.

Réponds à la question posée par le problème.

 

Note : Tu peux aussi mettre la fonction de second degré sous forme développée f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c​ et utiliser la formule du sommet S(−b2a;f(−b2a))S(-\frac{b}{2a};f(-\frac{b}{2a}))S(−2ab​;f(−2ab​))​.



Exemple

Le périmètre d’un rectangle mesure 24cm24cm24cm​. Détermine les longueurs des côtés xxx​ et yyy​ pour que l’aire du rectangle soit maximale.


Périmètre :

24=2x+2y24=2x+2y24=2x+2y

L’aire AAA est la grandeur qu’on souhaite optimiser :

​A=xyA=xyA=xy​​


Forme le système d’équations :

​{24=2x+2yA=xy\left\{\begin{array}{rcr}24=2x+2y \\A=xy\end{array}\right.{24=2x+2yA=xy​​​


Isole yyy​ dans la première équation et remplace-le dans la deuxième pour former la fonction f(x)f(x) f(x)​ à optimiser :

​{y=12−xf(x)=A=x(12−x)\left\{\begin{array}{rcr}y=12-x \\f(x)=A=x(12-x)\end{array}\right.{y=12−xf(x)=A=x(12−x)​​​


Détermine la forme canonique par complétion du carré :

​f(x)f(x)f(x)​​
​===​​
​x(12−x)x(12-x)x(12−x)​​

​f(x)f(x)f(x)​​
​===​​
​−x2+12x-x^2+12x−x2+12x​​

(forme développée)

​f(x)f(x)f(x)​​
​===​​
​−(x2−12x)-(x^2-12x)−(x2−12x)​​

​f(x)f(x)f(x)​​
​===​​
​−(x2+2×(−6)x  +36⏟compleˊteˊ  −36⏟soustrait)-(x^2+2×(-6)x\space\space \underbrace{+ 36 }_{complété}\space \space\underbrace{-36 }_{soustrait})−(x2+2×(−6)x  compleˊteˊ+36​​  soustrait−36​​)​​

​f(x)f(x)f(x)​​
​===​​
​−(x−6)2+36-(x-6)^2+36−(x−6)2+36​​

(forme canonique)


Déduis les coordonnées du sommet de la forme canonique :

​S(6;36)S(6;36)S(6;36)


On aurait aussi pu utiliser la formule −b2a-\frac{b}{2a}−2ab​​ à partir de la forme développée :

−b2a=−122×(−1)=6-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{2\times(-1)}=6−2ab​=−2×(−1)12​=6

f(−b2a)=−62+12×6=36f\big(-\frac{b}{2a}\big)=-6^2+12×6=36f(−2ab​)=−62+12×6=36

S(6;36)S(6;36)S(6;36)


Vérifie si l’extremum S(6;36)S(6;36)S(6;36)​ est un maximum ou un minimum en vérifiant les images de x=5x=5x=5​ et x=7x=7x=7​ :

f(5)=35f(5)=35f(5)=35

f(7)=35f(7)=35f(7)=35


Comme l’image de x=6x=6x=6​ est plus grande que les valeurs avoisinantes, S(6;36)S(6;36)S(6;36)​ est un maximum.


Remplace x=6 x=6x=6​ pour trouver yyy :

​y=12−6=6y=12-6=6y=12−6=6​​


Les côtés doivent donc mesurer les deux 6 cm6\space cm6 cm pour maximiser l’aire du rectangle.



En savoir plus

Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
Fonctions du second degré : optimisation

Unité 1

Fonctions du second degré : optimisation

Test final

Testez la révision de toutes les unités pour réclamer une planète de récompense.

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment calculer l'optimisation ?

Dans un problème d’optimisation, une grandeur décrite doit être maximisée ou minimisée. Ici, nous nous intéressons à des grandeurs qui peuvent être représentées par une fonction polynôme du second degré. Le maximum ou le minimum de la fonction est décrit par le sommet.

Comment résoudre des problèmes d'optimisation ?

MÉTHODE 1. Détermine la fonction polynôme du second degré. Conseil : Pour t’aider à trouver la fonction polynôme du second degré, tu peux écrire un système d’équation. 2. Écris la fonction sous forme canonique : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑢)* + 𝑣 3. Déduis-en les coordonnées du sommet 𝑆(𝑢; 𝑣) pour trouver les valeurs optimisant l’équation du second degré. 4. Vérifie si le sommet trouvé est un maximum ou minimum. Pour cela, étudie les points de la fonction aux alentours du sommet trouvé. 5. Réponds à la question posée par le problème.

Qu'est-ce qui caractérise un problème d'optimisation ?

Dans un problème d’optimisation, une grandeur décrite doit être maximisée ou minimisée.

©2020 - 2024 evulpo AG

Beta