Les paramètres d’une fonction du second degré indiquent les transformations qui ont été faites pour obtenir la fonction du second degré à partir de la fonction carré $f(x)=x^2$ .

$f(x)=a(x-u)^2+v$

$a$ : coefficient dominant

$u$ : déplacement horizontal

$v$ : déplacement vertical

On dit que la fonction est en forme « canonique ».

Sommet

Le sommet de la parabole est son point le plus haut ou le plus bas (minimum/maximum).

Les paramètres $u$ et $v$ donnent les coordonnées du sommet : $S(u ;v)$ .

Propriétés des paramètres

Coefficient a

$a>0$	$a<0$	$\|a\|>1$	$\|a\|<1$
La parabole est ouverte vers le haut.	La parabole est ouverte vers le bas.	La parabole est plus étroite.	La parabole est plus large.

Déplacements u et v

$u>0$	$u<0$	$v>0$	$v<0$
La parabole est décalée vers la droite.	La parabole est décalée vers la gauche.	La parabole est décalée vers le haut.	La parabole est décalée vers le bas.

Trouver la forme canonique

MÉTHODE

1.	Mets en évidence le coefficient de $x^2$ devant $x^2$ et $x$ . $f(x)=a \big(x^2+\frac{b}{a} x\big)+c$
2.	Complétion du carré : Complète le terme entre parenthèses pour former une identité remarquable. Puis soustrais l’opposé. $f(x)=a\bigg(x^2+\frac{b}{a} x+\underbrace{ \Big(\frac{b}{2a}\Big)^2}_{complété}-\underbrace{\Big(\frac{b}{2a}\Big)^2}_{soustrait}\bigg)+c$
3.	Factorise grâce à l’identité remarquable. $f(x)=a\Bigg(\bigg(x-\Big(\frac{b}{2a}\Big)\bigg)^2-\Big(\frac{b}{2a}\Big)^2\Bigg)+c$
4.	Distribue pour enlever la parenthèse de l’étape 1. $f(x)=a\bigg(x-\Big(\frac{b}{2a}\Big)\bigg)^2-a\Big(\frac{b}{2a}\Big)^2+c$

Exemple

f(x)=2x^2-4x+6

Mets en évidence :

f(x)=2(x^2-2x)+6

Complétion du carré :

f(x)=2(x^2-2x+1-1)+6

Identité remarquable :

f(x)=2((x-1)^2-1)+6

Distribue pour enlever la parenthèse extérieure :

f(x)=2(x-1)^2-2+6

f(x)=2(x-1)^2+4

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Fonctions du second degré : définition et graphe

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment déterminer la forme canonique d'une fonction ?

1. Mets en évidence le coefficient de 𝑥^2 devant 𝑥^2 et 𝑥. 2. Complétion du carré : Complète le terme entre parenthèses pour former une identité remarquable. Puis soustrais l’opposé. 3. Factorise grâce à l’identité remarquable. 4. Distribue pour enlever la parenthèse de l’étape 1.

C'est quoi une fonction canonique ?

Les paramètres d’une fonction du second degré indiquent les transformations qui ont été faites pour obtenir la fonction du second degré à partir de la fonction carré 𝑓(𝑥) = 𝑥&. 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑢)& + 𝑣 𝑎 : coefficient dominant 𝑢 : déplacement horizontal 𝑣 : déplacement vertical On dit que la fonction est en forme « canonique ».

Quelle est la formule de la forme canonique ?

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑢)& + 𝑣 𝑎 : coefficient dominant 𝑢 : déplacement horizontal 𝑣 : déplacement vertical

Beta

Je suis Vulpy, ton compagnon de révision IA ! Apprenons ensemble.

Fonctions du second degré : forme canonique

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