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Mathématiques

Fonctions : opérations sur les fonctions

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Résumé

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Fonctions : opérations sur les fonctions

Définition

Similairement aux opérations existantes sur les nombres (addition, multiplication, etc.), on peut définir des opérations sur les fonctions.

Addition et soustraction

On peut additionner deux fonctions f et g en additionnant les équations de fonction correspondantes :

$x⟼f(x)+g(x)$

L’équation de la fonction est alors $[f+g](x)=f(x)+g(x)$ .

Pour la soustraction, le principe est le même : $[f-g](x)=f(x)-g(x)$ .

Exemple

Additionne les deux fonctions $f(x)=3x+2$ et $g(x)=x^2-x$ .

$[f+g](x)=f(x)+g(x) \newline=3x+2+x^2-x\newline=(x^2+2x+2)$

Multiplication et division

On peut multiplier deux fonctions f et g en multipliant les équations de fonction correspondantes :

$x⟼f(x)×g(x)$

L’équation de la fonction est alors $[f×g](x)=f(x)×g(x)$ .

Pour la division, le principe est le même : $[\frac{f}{g}](x) =\frac{f(x)}{g(x)}$ .

Exemple

Multiplie les deux fonctions $f(x)=3x+2$ et $g(x)=x^2$ .

$[f×g](x)=f(x)×g(x)\newline=(3x+2)×x^2\newline=(3x^3+2x^2 )$

Note : Pour la division, cette formule s’applique à condition que la fonction $g$ parte d’un ensemble de définition dans lequel $0$ n’est pas contenu. En effet, la division par $0$ est interdite et la fonction $\frac{f}{g}$ ne serait alors pas définie.

Ensembles de définition

Les opérations présentées ci-dessus forment une nouvelle fonction. Son ensemble de définition est l’intersection de l’ensemble de définition de $f$ et de l’ensemble de définition de $g$ , c’est-à-dire l’intégralité des nombres qui sont à la fois dans l’ensemble de définition de $f$ et de $g$ .

Note : Pour la division $\frac{f(x)}{g(x)}$ , il faut en plus exclure de l’ensemble de définition les valeurs $x$ où $g(x)=0$ .

Exemple

Si l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}^+$ et celui de $g$ est $\mathbb{R}$ \{2} alors l'ensemble de définition de $f+g$ est $\mathbb{R}^+$ \{2}.

Mathématiques; Fonctions; 1re générale; Fonctions : opérations sur les fonctions

Fonctions : opérations sur les fonctions

Définition

Similairement aux opérations existantes sur les nombres (addition, multiplication, etc.), on peut définir des opérations sur les fonctions.

Addition et soustraction

On peut additionner deux fonctions f et g en additionnant les équations de fonction correspondantes :

$x⟼f(x)+g(x)$

L’équation de la fonction est alors $[f+g](x)=f(x)+g(x)$ .

Pour la soustraction, le principe est le même : $[f-g](x)=f(x)-g(x)$ .

Exemple

Additionne les deux fonctions $f(x)=3x+2$ et $g(x)=x^2-x$ .

$[f+g](x)=f(x)+g(x) \newline=3x+2+x^2-x\newline=(x^2+2x+2)$

Multiplication et division

On peut multiplier deux fonctions f et g en multipliant les équations de fonction correspondantes :

$x⟼f(x)×g(x)$

L’équation de la fonction est alors $[f×g](x)=f(x)×g(x)$ .

Pour la division, le principe est le même : $[\frac{f}{g}](x) =\frac{f(x)}{g(x)}$ .

Exemple

Multiplie les deux fonctions $f(x)=3x+2$ et $g(x)=x^2$ .

$[f×g](x)=f(x)×g(x)\newline=(3x+2)×x^2\newline=(3x^3+2x^2 )$

Note : Pour la division, cette formule s’applique à condition que la fonction $g$ parte d’un ensemble de définition dans lequel $0$ n’est pas contenu. En effet, la division par $0$ est interdite et la fonction $\frac{f}{g}$ ne serait alors pas définie.

Ensembles de définition

Les opérations présentées ci-dessus forment une nouvelle fonction. Son ensemble de définition est l’intersection de l’ensemble de définition de $f$ et de l’ensemble de définition de $g$ , c’est-à-dire l’intégralité des nombres qui sont à la fois dans l’ensemble de définition de $f$ et de $g$ .

Note : Pour la division $\frac{f(x)}{g(x)}$ , il faut en plus exclure de l’ensemble de définition les valeurs $x$ où $g(x)=0$ .

Exemple

Si l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}^+$ et celui de $g$ est $\mathbb{R}$ \{2} alors l'ensemble de définition de $f+g$ est $\mathbb{R}^+$ \{2}.

Mathématiques; Fonctions; 1re générale; Fonctions : opérations sur les fonctions

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Fonctions : ensemble de définitions, image et graphe

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Foire aux questions (FAQ)

FAQs

Question : Comment faire la somme de deux fonctions ?

Réponse : Pour faire la somme de deux fonctions f et g, on additionne leurs équations. L’équation de la fonction obtenue est alors [f+g](x)=f(x)+g(x). L’ensemble de définition de cette fonction est l’intégralité des nombres qui sont à la fois dans l’ensemble de définition de f et de g.
Question : Comment soustraire des fonctions ?

Réponse : Pour soustraire une fonction g d’une fonction f, on soustrait l’équation de la fonction g de celle de la fonction f. L’équation de la fonction obtenue est alors [f-g](x)=f(x)-g(x). L’ensemble de définition de cette fonction est l’intégralité des nombres qui sont à la fois dans l’ensemble de définition de f et de g.
Question : Comment multiplier des fonctions ?

Réponse : Pour multiplier des fonctions f et g, on multiplie leurs équations. L’équation de la fonction obtenue est alors [f×g](x)=f(x)×g(x). L’ensemble de définition de cette fonction est l’intégralité des nombres qui sont à la fois dans l’ensemble de définition de f et de g.

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Exercices

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