Fonctions : opérations sur les fonctions

Définition

Similairement aux opérations existantes sur les nombres (addition, multiplication, etc.), on peut définir des opérations sur les fonctions.

Addition et soustraction 

On peut additionner deux fonctions f et g en additionnant les équations de fonction correspondantes :

 $$x⟼f(x)+g(x)$$

L’équation de la fonction est alors $$[f+g](x)=f(x)+g(x)$$​.

Pour la soustraction, le principe est le même : $$[f-g](x)=f(x)-g(x)$$​.

Exemple 

Additionne les deux fonctions $$f(x)=3x+2$$ et $$g(x)=x^2-x$$​.

​$$[f+g](x)=f(x)+g(x) \newline=3x+2+x^2-x\newline=(x^2+2x+2)$$

Multiplication et division 

On peut multiplier deux fonctions f et g en multipliant les équations de fonction correspondantes :

​$$x⟼f(x)×g(x)$$

L’équation de la fonction est alors $$[f×g](x)=f(x)×g(x)$$​.

Pour la division, le principe est le même : $$[\frac{f}{g}](x) =\frac{f(x)}{g(x)}$$​.

Exemple 

Multiplie les deux fonctions $$f(x)=3x+2$$ et $$g(x)=x^2$$​.

​$$[f×g](x)=f(x)×g(x)\newline=(3x+2)×x^2\newline=(3x^3+2x^2 )$$​​

Note : Pour la division, cette formule s’applique à condition que la fonction $$g$$​ parte d’un ensemble de définition dans lequel $$0$$​ n’est pas contenu. En effet, la division par $$0$$​ est interdite et la fonction $$\frac{f}{g}$$​ ne serait alors pas définie.

Ensembles de définition

Les opérations présentées ci-dessus forment une nouvelle fonction. Son ensemble de définition est l’intersection de l’ensemble de définition de $$f$$​ et de l’ensemble de définition de $$g$$​, c’est-à-dire l’intégralité des nombres qui sont à la fois dans l’ensemble de définition de $$f$$​ et de $$g$$​.

Note : Pour la division $$\frac{f(x)}{g(x)}$$​, il faut en plus exclure de l’ensemble de définition les valeurs $$x$$​ où $$g(x)=0$$​.

Exemple 

Si l'ensemble de définition de $$f$$ est $$\mathbb{R}^+$$​ et celui de $$g$$ est $$\mathbb{R}$$​\{2} alors l'ensemble de définition de $$f+g$$ est $$\mathbb{R}^+$$\{2}.