​Équations de degré supérieur à 2 

Définition 

Dans une équation de degré supérieur à $$2$$​, la variable recherchée apparaît avec un exposant supérieur ou égal à $$3$$​. Le nombre maximal de solutions est égal à la valeur de l’exposant le plus élevé. 

Exemple 

On sait que l’équation $$x^3-8x+4=3$$​ possède au maximum $$3$$​ solutions, il est impossible qu’elle en possède $$4$$​ ou plus. 

Méthodes de résolution 

L’idée est de modifier l’équation afin de pouvoir la résoudre avec les méthodes connues pour les équations du second degré. La première étape est toujours de rassembler tous les termes d’un seul côté de l’égalité. Pour l’exemple ci-dessus, on écrira $$x^3-8x+1=0$$​ à la place de $$x^3-8x+4=3$$​. 

Mettre en évidence une puissance de x 

On peut appliquer cette méthode lorsque tous les termes de l’équation contiennent au moins un x. 

Méthode 

Exemple 

Trouve les solutions de cette équation : 

​$$x^4+x^3-12x^2=0$$​​

Mets en évidence la plus haute puissance de $$x$$​ : 

​$$x^4+x^3-12x^2=x^2 (x^2+x-12)=0$$​​

Le facteur $$x^2$$​ indique que $$0$$​ est une solution. 

Utilise les méthodes pour résoudre les équations du second degré : 

​$$x^2+x-12=0$$​​

Les solutions de cette équation sont $$\{-4 ,3\}$$​. 

Ainsi, les solutions de l’équation $$x^4+x^3-12x^2=0$$​ sont $$\{-4 ,0,3\}$$​. 

Substitution 

Cette méthode peut être appliquée si les exposants de x sont tous des multiples d’un même nombre. 

Exemple 

Dans l’équation suivante, tous les exposants sont des multiples de $$3$$​ : 

​$$x^6+5x^3+6=0$$​​

Méthode 

Exemple 

​$$x^6+5x^3+6=0$$​​

Tous les exposants sont divisibles par $$3$$​. 

Définis la variable $$t=x^3$$​. 

L’équation devient 

$$t^2+5t+6=0$$​​

Résous cette équation avec les méthodes habituelles.
L’ensemble des solutions pour la variable $$t$$​ est $$\{-2,-3\}$$​. 

Effectue la substitution inverse : 

$$x^3=t$$​​

La variable $$t$$​ avait deux solutions. On résout alors deux équations : 

​$$x^3=t=-2 \\x^3=t=-3$$​​

​

Les solutions pour $$x$$​ sont $$\underline{\{\sqrt[3]{(-2)},\sqrt[3]{(-3)}\}}$$​.