Dans une équation de degré supérieur à 2, la variable recherchée apparaît avec un exposant supérieur ou égal à 3. Le nombre maximal de solutions est égal à la valeur de l’exposant le plus élevé.
Exemple
On sait que l’équation x3−8x+4=3 possède au maximum 3 solutions, il est impossible qu’elle en possède 4 ou plus.
Méthodes de résolution
L’idée est de modifier l’équation afin de pouvoir la résoudre avec les méthodes connues pour les équations du second degré. La première étape est toujours de rassembler tous les termes d’un seul côté de l’égalité. Pour l’exemple ci-dessus, on écrira x3−8x+1=0 à la place de x3−8x+4=3.
Mettre en évidence une puissance de x
On peut appliquer cette méthode lorsque tous les termes de l’équation contiennent au moins un x.
Méthode
1.
Mets tous les termes du même côté pour avoir zéro de l’autre.
2.
Détermine quelle est la plus haute puissance de x présente simultanément dans tous les termes de l’équation.
3.
Mets cette puissance de x en évidence.
4.
Pour que l’équation vaille 0, au moins un des facteurs doit être 0. Ainsi, la puissance de x mise en évidence indique que 0 est une solution. Pour trouver le reste des solutions, cherche les valeurs de x pour lesquelles le second facteur vaut 0 (voir méthodes de résolution d’équations du second degré).
Exemple
Trouve les solutions de cette équation :
x4+x3−12x2=0
Mets en évidence la plus haute puissance de x :
x4+x3−12x2=x2(x2+x−12)=0
Le facteur x2 indique que 0 est une solution.
Utilise les méthodes pour résoudre les équations du second degré :
x2+x−12=0
Les solutions de cette équation sont {−4,3}.
Ainsi, les solutions de l’équation x4+x3−12x2=0 sont {−4,0,3}.
Substitution
Cette méthode peut être appliquée si les exposants de x sont tous des multiples d’un même nombre.
Exemple
Dans l’équation suivante, tous les exposants sont des multiples de 3 :
x6+5x3+6=0
Méthode
1.
Mets tous les termes du même côté pour avoir zéro de l’autre.
2.
Détermine le plus grand diviseur commun des exposants.
3.
Définis une nouvelle variable t égale à la puissance de x trouvée à l’étape 2. Réécris l’équation avec cette variable t.
4.
Résous l’équation obtenue avec les méthodes des équations du second degré.
5.
Effectue la substitution inverse et trouve la valeur de x à partir des solutions trouvées à l’étape 4.
Exemple
x6+5x3+6=0
Tous les exposants sont divisibles par 3.
Définis la variable t=x3.
L’équation devient
t2+5t+6=0
Résous cette équation avec les méthodes habituelles. L’ensemble des solutions pour la variable t est {−2,−3}.
Effectue la substitution inverse :
x3=t
La variable t avait deux solutions. On résout alors deux équations :
C'est le fait d'utiliser une autre variable à partir d'un facteur commun, qui permet de résoudre la première équation.
Comment résoudre une équation avec une inconnue élevée à un exposant supérieur à deux ?
Il est nécessaire de transformer l'équation pour qu'elle soit égale à 0. Ensuite, utilise la puissance la plus élevée afin de la mettre en évidence comme facteur, permettant de ne plus avoir que des termes du second degré. Tu peux alors résoudre l'équation comme une équation du second degré égale à 0.
Qu'est-ce qu'une équation de degré supérieur à deux ?
Une équation dans laquelle l'inconnue est élevée à un exposant qui est supérieur ou égal à 3.
Beta
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