Équations : méthode du discriminant

Forme canonique

Une fonction polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ peut être écrite sous la forme suivante, appelée forme canonique :

$P(x)=a\bigg(\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\bigg)$

pour tout $x\in \R$ .

La méthode du discriminant décrite ci-dessous, aussi appelée formule de Viète, peut être utilisée pour calculer les solutions d’une équation du second degré en forme générale.

Solutions de la forme générale

Les solutions d’une équation du second degré de forme générale $ax^2+bx+c=0$ sont :

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Discriminant

Le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est le terme sous la racine dans les solutions $x_1$ et $x_2$ .

Propriétés

Le discriminant indique le nombre de solutions de l’équation de second degré :

	Solution de $ax^2+bx+c=0$	Factorisation de $P(x)$
$\Delta>0$	deux solutions $x_1$ et $x_2$	$P(x)=a\bigg( \big(x+\frac{b}{2a}\big)-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\bigg)\bigg(\big(x+\frac{b}{2a}\big)+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\bigg)$
$\Delta=0$	une solution $x_0=x_1=x$	$P(x)=a\big(x+\frac{b}{2a}\big)^2$
$\Delta<0$	aucune solution	aucune

Résoudre une équation avec la formule du discriminant

Méthode

1.	Place tous les termes du même côté pour avoir zéro de l’autre.
2.	Ordonne les termes : $ax^2+bx+c=0$ (forme générale).
3.	Applique la formule du discriminant et calcule les solutions. $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ *Conseil :* Fais attention aux signes devant $a$ , $b$ * et* $c$ .

Exemple

$2x^2-5x+3=0$

Formule du discriminant : $a=2$ , $b=-5$ , $c=3$

$x_1=\frac{+5+\sqrt{(-5)^2-4\times2\times3}}{2\times2}$	et	$x_2=\frac{+5-\sqrt{(-5)^2-4\times2\times3}}{2\times2}$
$x_1=\frac{+5+\sqrt{25-24}}{4}$		$x_2=\frac{+5-\sqrt{25-24}}{4}$
$x_1=\frac{+5+1}{4}$		$x_2=\frac{+5-1}{4}$

Deux solutions : $x_1=\frac32$  et $x_2=1$