Division polynomiale : factoriser et calcul

Définition

Polynôme

Un polynôme est une expression composée de plusieurs termes séparés par des signes plus ou moins. Les termes peuvent contenir des nombres (facteurs) et des variables.

$3a^3+2a^2-3a-2$

Division polynomiale

Dans une division polynomiale on divise un polynôme par un autre polynôme. On te demandera le plus souvent de diviser par un binôme.

$\frac{(3a^3+2a^2-3a-2)}{(a-1)}$

Calcul – division euclidienne

Méthode

Exemple

1.	Divise le premier terme du polynôme à gauche par le premier terme du diviseur. *Note :* Les termes des deux polynômes doivent être ordonnés de la puissance la plus élevée à la puissance la plus faible.	Calcul : $\frac{3a^3}{a}=3a^2$
2.	Multiplie le résultat par le diviseur et écris le nouveau résultat sur la deuxième ligne.	Calcul : $3a^2\times(a-1)=3a^3-3a^2$
3.	Soustrais ce résultat au polynôme au-dessus et note la différence en dessous.	Calcul : $3a^3+2a^2-(3a^3-3a^2)=5a^2$
4.	Répète les étapes 1-3 avec le nouveau polynôme trouvé à l’étape 3 (différence). La division se termine quand tu obtiens le chiffre 0 comme différence (ligne du bas).	Répétition : Répétition :
5.	Le résultat de la division est à droite.	$(3a^3+2a^2-3a-2):(a-1)=3a^2+5a+2$

Factoriser en utilisant la division polynomiale

La division polynomiale est principalement utilisée pour factoriser des expressions quand les identités remarquables ne sont pas applicables.

Méthode

1.	Trouve une racine du polynôme en essayant de remplacer x par plusieurs valeurs. *Conseil :* Cherche parmi les diviseurs (positifs ou négatifs) du terme sans $x$ .
2.	Mets en place la division euclidienne. Le diviseur est le binôme suivant : (x - "racine trouvée à l'étape 1").
3.	Effectue la division polynomiale.

Exemple

$x^3-2x^2-5x+6$

Trouve une racine du polynôme : $x=1$
Diviseur : $(x-1)$

Effectue la division polynomiale :

$\frac{(x^3-2x^2-5x+6)}{(x-1)}=x^2-x-6$

Écris la factorisation avec le résultat obtenu :

$x^3-2x^2-5x+6=\underline{(x^2-x-6)(x-1)}$

Tu peux ensuite poursuivre la factorisation avec les méthodes connues.