Monopole et intervention de l’État

Monopole

Définition

Un monopole est une situation dans laquelle un certain bien ou service n’est proposé que par un seul offreur. Le terme « monopole » désigne aussi cet unique offreur. Il n’a pas besoin de fixer ses prix en tenant compte du marché, mais peut au contraire les déterminer librement.

Offre et demande dans un monopole

Similairement au modèle de concurrence parfaite, la demande peut être représentée par une fonction affine : $y=m_Dx+q_D.$

Cependant, dans un monopole, il n’y a pas de fonction d’offre. Le prix est simplement fixé par l’unique offreur afin de maximiser son profit.

Mathématiques; Économie de marché; Maturité professionnelle Economie et services; Monopole et intervention de l'État

Bénéfices du monopole

Le bénéfice est obtenu en soustrayant les coûts de production aux recettes.

$B\acute{e}n\acute{e}fices=(y\cdot x)-(m_c\cdot x\ +q_F)=\ y\cdot x\ {-\ m}_c\cdot x\ -q_F$

$y$ : prix par unité
$m_c$ : coûts variables (coûts engendrés par la production d’une unité supplémentaire)
$x$ : nombre d’unités
$q_F$ : coûts fixes

On peut exprimer le prix à l’aide de la fonction de demande $y=m_Dx+q_D.$ En substituant $y$ dans la formule ci-dessus et en développant l’expression, on obtient l’égalité suivante :

$B\acute{e}n\acute{e}fices=\underbrace{(m_Dx+q_D)}_y\cdot x-m_c\cdot x-q_F=m_Cx^2+q_Dx-m_cx-q_F$

MAXIMISER LE BÉNÉFICE

Déterminer le prix et la quantité maximisant le bénéfice du monopole.

MÉTHODE

1.

Exprime le bénéfice sous forme de fonction quadratique. Pour cela, substitue le prix $y$ de la formule du bénéfice par la fonction de demande (voir ci-dessus).

$B\acute{e}n\acute{e}fice=m_Cx^2+q_Dx-m_cx-q_F$

2.

Détermine la valeur de $x$ où la fonction atteint son maximum. Par exemple, tu peux trouver les zéros de la fonction et déterminer leur moyenne.

La valeur de $x$ est le nombre d’unités maximisant le profit du monopole.

Remarque : Si on substitue cette valeur de dans la fonction de demande, on obtient le prix $y$ maximisant les bénéfices du monopole.

Exemple – La fonction de demande pour un produit est $y=-3x+190$ . Quelle est la quantité qu’un monopole devrait produire pour maximiser ses profits sachant que ses coûts variables s’élèvent à CHF 10 par unité et ses coûts fixes sont de CHF 480 ?

Fonction de bénéfice :

$B\acute{e}n\acute{e}fice=recettes-co\hat{u}ts\ =y\cdot x-(10\cdot x\ +480)\ =\left(y-10\right)\cdot x-480$ 

Remplace par la fonction de demande :

$B\acute{e}n\acute{e}fice=\left(-3x+190-10\right)\cdot x-480$ 

Développe l’expression :

$B\acute{e}n\acute{e}fice=-3x^2+180x-480$ 

Trouve les zéros de la fonction (par exemple avec la méthode de la complétion du carré) :

$-3x^2+180x-480=0\\x^2-60x+160=0\\x^2-60x+900=740\\\left(x-30\right)^2=740\\x=\pm\sqrt{740}+30$ 

Calcule la moyenne des zéros :

$x_s=\frac{\left(\sqrt{740}+30\right)+\left(-\sqrt{740}+30\right)}{2}=30$ 

Le nombre optimal d’unités est $30$ .

Intervention de l’État

Définition

L’État peut intervenir sur un marché pour fixer des prix maximums ou minimums sur certains produits.

Prix minimal

L’État peut fixer un prix minimal pour un certain produit. Si ce prix se situe en dessous du prix d’équilibre, cela ne change rien au marché. Cependant, s’il se situe au-dessus du prix d’équilibre, la quantité offerte est supérieure à la quantité demandée. Il en résulte alors un surplus ou excédent d’offre.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Mathématiques; Économie de marché; Maturité professionnelle Economie et services; Monopole et intervention de l'État

Prix maximal

L’État peut fixer un prix maximal, que le marché ne peut pas dépasser. Si ce prix est au-dessus du prix d’équilibre, cela n’a aucun effet sur le marché. Si au contraire il se trouve sous le prix d’équilibre, la quantité offerte sur le marché est inférieure à la quantité demandée. Il en résulte alors un surplus de demande ou excédent de demande.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Mathématiques; Économie de marché; Maturité professionnelle Economie et services; Monopole et intervention de l'État

Déterminer le surplus d’offre ou de demande

MÉTHODE

1.

Substitue le prix maximal/minimal dans la fonction d’offre et isole $x$ . On écrit $x_O$ à la place de $x$ pour indiquer qu’il s’agit de la quantité offerte.

$x_O=\frac{y-q_O}{m_O}$ .

2.

Substitue le prix maximal/minimal dans la fonction de demande et isole $x$ . On le dénote $x_D$ à la place de $x$ pour indiquer qu’il s’agit de la quantité demandée.

$x_D=\frac{y-q_D}{m_D}$ .

3.

Calcule la valeur absolue de leur différence : $\left|x_O-x_D\right|$

Cette valeur est le surplus d’offre/de demande

Exemple

La fonction d’offre est $y=\frac{1}{2}x+30$ et la fonction de demande est $y=-\frac{3}{8}+100$ . L’État fixe le prix minimum à CHF 85. Calcule le surplus d’offre.

Substitue le prix minimum dans la fonction d’offre et isoler $x$ :

$x_O=\frac{85-30}{\frac{1}{2}}=110$ 

Substitue le prix minimum dans la fonction de demande et isoler $x$ :

$x_D=\frac{85-100}{-\frac{3}{8}}=40$ 

Calcule le surplus :

$110-40=\underline{70}$ 

Le surplus d’offre est de 70 unités.