Prix non linéaires

Forfait

Définition

Un forfait est un prix fixe à payer pour une certaine quantité d’un produit. Si cette quantité est dépassée, des coûts supplémentaires sont ajoutés.

Exemple : Abonnement de téléphone

Pour les 100 premières minutes, on paie un forfait de . Chaque minute supplémentaire coûte $5$ centimes.

Fonction correspondante

Une fonction décrivant un prix forfaitaire possède deux intervalles distincts.

Notation :

$q_P$ : prix forfaitaire, $m_k$ : coût variable, $x^\ast$ : quantité incluse dans le forfait

PREMIER INTERVALLE

Entre $0$ et la quantité $x^\ast$ : coût constant :

La fonction est une droite horizontale. La hauteur (coordonnée $y$ ) est le prix du forfait ( $q_P$ ).

Nombre d’unités du produit : $0 \le x \le x^\ast$
Coût : $y=q_P$

DEUXIÈME INTERVALLE

Quantité $x^\ast$ dépassée : coût croissant :

Plus il y a d’unités consommées, plus le prix augmente.

Nombre d’unités du produit : $x \gt x^\ast$
Coût : $y=m_k \cdot(x-x^\ast)+q_P$

Écrire la fonction

Pour les fonctions définies par intervalle, on utilise la notation suivante :

$y=\left\{{\ fonction\ 1\atop fonction\ 2}\right.{pour\ intervalle\ 1\atop pour\ intervalle\ 2}$

Chaque ligne correspond à un intervalle. Sur le côté gauche, on indique la fonction, sur le côté droit, on indique l’intervalle sur lequel la définition est valable. Dans le cas des prix forfaitaires, le tableau ci-dessus nous indique les fonctions et intervalles à utiliser :

$y=\left\{{q_P\atop m_k\cdot(x-x^\ast)+q_P}\right.{pour\ 0\le x\le x^\ast \atop pour\ x \gt x^\ast}$

Exemple : Un abonnement de téléphone coûte $25\ CHF$ par mois. Il inclut minutes d’appel, et chaque minute supplémentaire coûte $120$ centimes. Quel est la fonction des coûts ?

La variable $x$ représente le nombre de minutes d’appel.

Intervalles :

Intervalle 1 : forfais pour minutes ( $0\le x\le120$ )

Intervalle 2 : minutes supplémentaires ( $x\gt120$ )

Fonction des coûts :

Fonction 1 : $y=25$ (prix constant)

Fonction 2 : nombre de minutes supplémentaires = $x-120$ 

$y=prix=\ forfait\ +\ supplément=25+0.15\cdot(x-120)$ 

Notation mathématique :

$y=\left\{{25\atop0.15\cdot(x-120)+25}\right.{\ \ \ \ \ \ \ \ pour\ 0\le x\le120\atop p o u r\ x\gt 120}$ 

Mathématiques; Gestion; Maturité professionnelle Economie et services; Prix non linéaires

Rabais sur la quantité

Définition

Un rabais sur la quantité est une baisse du prix à partir d’une certaine quantité achetée. Le rabais peut être appliqué sur les unités supplémentaires ou sur l’ensemble de la quantité achetée.

Rabais sur l’ensemble de la quantité

On cherche à décrire l’évolution du prix en fonction de la quantité avec une fonction. Dans le cas où, à partir d’une certaine quantité, un rabais est appliqué sur l’ensemble de l’achat, la fonction possède deux intervalles.

Notation :

$m_p$ : prix sans rabais, $m_p^\ast$ : prix avec rabais, $x^\ast$ : quantité à atteindre pour profiter du rabais

PREMIER INTERVALLE

Avant d’atteindre la quantité $x^\ast,$ le prix de chaque unité est $m_p.$

Nombre d’unités : $0\le x\lt x^\ast$
Coût : $y=m_p\cdot x$

DEUXIÈME INTERVALLE

Si on achète plus de $x^\ast$ unités, le prix de chaque unité achetée descend à $m_p^\ast.$

Nombre d’unités : $x\geq x^\ast$
Coût : $y=m_p^\ast\cdot x$

NOTATION MATHÉMATIQUE :

$y=\left\{{m_p\cdot x\atop m_p^\ast\cdot x}\right.{\ \ \ \ \ \ \ \ \ pour\ 0\le x\lt x^\ast\atop p o u r\ x\geq x^\ast}$

Acheter plus pour moins cher ?!

Dans le cas d’un tel rabais sur la quantité, il arrive qu’acheter un certain nombre de produits soit plus cher que d’en acheter un plus grand nombre. En effet, le coût d’une quantité sans rabais peut être plus haut que le coût d’une quantité suffisamment grande pour profiter du rabais.

À PARTIR DE QUAND PEUT-ON ACHETER PLUS POUR MOINS CHER ?

1.	Calcule le prix de la quantité $x^\ast$ (avec le rabais) : $y=m_p^\ast\cdot x^\ast$ .
2.	Cherche la quantité qu’on peut acheter sans rabais avec la somme trouvée à l’étape 1. Pour cela, résous l’équation : $y=m_p\cdot x$ , où $y$ est le prix trouvé à l’étape 1.
3.	Isole $x$ dans l’équation pour trouver la réponse : $x=\frac{y}{m_p}$ .

Exemple : Un T-shirt coûte $CHF\ 10$ . A partir de $60$ unités, on profite d’un rabais de $25\%$ sur l’ensemble de la quantité achetée.

Prix par unité sans rabais :

$m_{p}=10$

Prix par unité avec rabais :

$m_p^\ast=10\cdot(100\%-25\%)=10\cdot75%=10\cdot0.75=7.5$ 

Calcule le prix (avec rabais) de la quantité $x^\ast$ :

$y=m_p^\ast\cdot60=7.5\cdot60=450\ CHF$ 

Quelle est la quantité qu’on peut acheter sans rabais avec $450\ CHF$ ?

Résous l’équation suivante :

$450=m_p\cdot x=10x$ 

Isole $x$ :

$x=\frac{450}{10}=45$ 

Le prix de $45$ T-shirts (sans rabais) est le même que celui de T-shirts (avec rabais). A partir de $45$ T-shirts, il est moins cher d’acheter une plus grande quantité et de profiter du rabais.

Représentation graphique :

Mathématiques; Gestion; Maturité professionnelle Economie et services; Prix non linéaires

Un achat entre $46$ et $59$ T-shirts coûte plus cher que d’acheter $60$ T-shirts. Pour le consommateur, acheter une telle quantité n’a pas de sens. On peut donc normaliser les prix de ces quantités afin de les rendre constants entre $45$ et $60$ unités. La fonction de prix est alors composée de trois segments :

$y= \begin{cases} 10x &\text{pour }x \leq 45 \\ 450 &\text{pour}45\lt x\lt 60\\ 7.5x &\text{pour} x \geq 60\\ \end{cases}$ 

Représentation graphique :

Mathématiques; Gestion; Maturité professionnelle Economie et services; Prix non linéaires

Rabais sur les unités supplémentaires (uniquement)

On cherche à décrire l’évolution du prix en fonction de la quantité avec une fonction. Dans le cas où, à partir d’une certaine quantité, un rabais est appliqué sur les unités supplémentaires, la fonction possède deux intervalles.

Notation :

$m_p$ : prix sans rabais, $m_p^\ast$ : prix avec rabais, $x^\ast$ : quantité à atteindre pour profiter du rabais

PREMIER INTERVALLE

Avant d’atteindre la quantité $x^\ast,$ le prix de chaque unité est $m_p.$

Nombre d’unités : $0\le x \lt x^\ast$
Coût : $y=m_p\cdot x$

DEUXIÈME INTERVALLE

Si on achète plus de $x^\ast$ unités, le prix de chaque unité supplémentaire baisse à $m_p^\ast.$

Attention : le prix des $x^\ast$ premières unités reste le même.

Nombre d’unités : $x\geq x^\ast$
Coût : $y= prix\ des\ x^\ast\ premières\ unités + prix\ des\ unités\ supplémentaires\ {m_px^\ast+m}_p^\ast\left(x-x^\ast\right)$

NOTATION MATHÉMATIQUE

Mathématiques; Gestion; Maturité professionnelle Economie et services; Prix non linéaires

Exemple : Un T-shirt coûte $CHF\ 10$ . À partir de $60$ unités, un rabais de $50\%$ est appliqué sur les pièces supplémentaires. Dessine la fonction du prix.

Détermine les intervalles :

Mathématiques; Gestion; Maturité professionnelle Economie et services; Prix non linéaires

Définis la fonction :

Mathématiques; Gestion; Maturité professionnelle Economie et services; Prix non linéaires

Représentation graphique :

Mathématiques; Gestion; Maturité professionnelle Economie et services; Prix non linéaires