Coûts, recettes et bénéfices

Définition

En gestion, on utilise des fonctions pour décrire graphiquement la situation financière d’une entreprise. On représente souvent les coûts, recettes et bénéfices de l’entreprise avec des fonctions affines.

Fonction des coûts

Définitions

Les dépenses de l’entreprise sont appelées « coûts ». 

Équation de droite

Formule pour exprimer les coûts avec une fonction affine :

Représentation graphique

• Les coûts fixes déterminent l’ordonnée à l’origine. La droite coupe l’axe $$y$$​ au point $$(0\ ;\ q_F)$$​.
  
• Les coûts variables représentent la pente de la droite.
  

Exemple :

Une entreprise produit des jouets. Les coûts fixes sont de $$CHF\ 500$$​ et les coûts s’élèvent à $$CHF\ 2.50$$​ par unité produite. 

Fonction des coûts : $$y=2.5x+500$$​.

Coûts totaux pour produire 400 jouets : $$y=2.5\cdot400+500=\underline{1\ 500}$$​ CHF.

Fonction des recettes

Définition

Les recettes sont l’argent gagné lors de la vente d’un bien ou d’un service. 

Équation de droite

Formule pour exprimer les recettes avec une fonction affine :

Représentation graphique

• La fonction est affine (passe par le point $$(0\ ;\ 0)$$​) car si aucune unité du produit n’est vendue, les recettes sont également 0.
  
• La recette par unité détermine la pente de la droite.
  

Exemple : Une entreprise vend des stylos au prix unitaire de $$CHF\ 3,5$$​.

Fonction des recettes : $$y=3,5x$$​.

Recettes totales pour la vente de $$500$$​ stylos : $$y=3,5\cdot500=\underline{1\ 500}$$​.

Fonction des bénéfices

Définition

Le bénéfice est la différence entre les recettes et les coûts.

Remarque : Pour simplifier les calculs, on part du principe que la quantité produite est égale à la quantité vendue, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de production faite « en avance », ni de produits non vendus.

Équation de droite

Formule pour exprimer les bénéfices avec une fonction affine :

Remarque 1 : La pente $$m_b$$​ est la différence entre la recette par unité vendue et le coût variable de production d’une unité : $$m_b=m_r-m_c$$​

Remarque 2 : La valeur  est aussi appelée « bénéfice brut », par opposition au « bénéfice net » qui ne prend pas en compte les coûts de production. 

Représentation graphique

• Les coûts fixes déterminent l’ordonnée à l’origine. La droite coupe l’axe $$y$$​ au point $$(0\ ;\ {-q}_F)$$​.
  
• Le bénéfice par unité détermine la pente de la droite.
  

Exemple :

Un producteur vend des tasses à $$CHF\ 4$$​ la pièce. Ses coûts variables sont de CHF 3 par unité et ses coûts fixes s’élèvent à $$CHF\ 400$$​. 

Fonction des bénéfices :

$$y=\left(4-3\right)\cdot x-400\\y=x-400$$​​

Calculer une équation de droite

A partir des coûts totaux de production, recettes ou bénéfices, on peut calculer les fonctions correspondantes.

MÉTHODE

Exemple : Une entreprise produit $$100$$​ ampoules pour un coût total de $$CHF\ 500$$​. Pour produire $$300$$​ ampoules, les coûts s’élèvent à $$CHF\ 1100$$​. Détermine la fonction des coûts.

Trouve deux points sur la droite. 

Rappel : la coordonnée $$x$$​ correspond au nombre d’unités et la coordonnée $$y$$​, aux coûts.

 ampoules pour $$CHF\ 500$$​ : $$P_1(100\ ;\ 500)$$​.

 ampoules pour $$CHF\ 1100$$​ : $$P_2(300\ ;\ 1100)$$​.

Calcule la pente :

$$m=\frac{1100-500}{300-100}=3$$​​

Calcule l’ordonnée à l’origine grâce aux coordonnées de $$P_1$$​ :

$$q=500-3\cdot100=200$$​​

Remplace les valeurs dans l’équation de droite : 

$$y=3x+200$$​​