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Problèmes à deux inconnues

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Pour approfondir les équations

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Inéquations du premier degré

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Équations quadratiques

Équations quadratiques : formes, notions et méthodes

Équations quadratiques : calcul direct

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Équations linéaires

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Vidéo Explicative

Enseignant: Sixtine Jeanbin

Résumés

Coûts, recettes et bénéfices

Définition

En gestion, on utilise des fonctions pour décrire graphiquement la situation financière d’une entreprise. On représente souvent les coûts, recettes et bénéfices de l’entreprise avec des fonctions affines.

Fonction des coûts

Définitions

Les dépenses de l’entreprise sont appelées « coûts ».

COÛTS VARIABLES ( $m_c$ )	Coûts liés à une augmentation de production (coûts de matériel ou de main d’œuvre par exemple)
COÛTS FIXES ( $q_F$ )	Coûts indépendants de la quantité précise produite (loyer ou assurance par exemple)
COÛTS TOTAUX ( $y$ )	Somme des coûts variables et fixes

Équation de droite

Formule pour exprimer les coûts avec une fonction affine :

$y=m_c\cdot x+q_F$

$y$ : Coûts totaux
$m_c$ : Coûts variables (augmentation des coûts pour chaque unité supplémentaire produite)
$x$ : Nombre d’unités produites
$q_F$ : Coûts fixes

Représentation graphique

Les coûts fixes déterminent l’ordonnée à l’origine. La droite coupe l’axe $y$ au point $(0\ ;\ q_F)$ .
Les coûts variables représentent la pente de la droite.

Exemple :

Une entreprise produit des jouets. Les coûts fixes sont de $CHF\ 500$ et les coûts s’élèvent à $CHF\ 2.50$ par unité produite.

Fonction des coûts : $y=2.5x+500$ .

Mathématiques; Gestion; Maturité professionnelle Economie et services; Coûts, recettes et bénéfices

Coûts totaux pour produire 400 jouets : $y=2.5\cdot400+500=\underline{1\ 500}$ CHF.

Fonction des recettes

Définition

Les recettes sont l’argent gagné lors de la vente d’un bien ou d’un service.

RECETTE PAR UNITÉ ( $m_r$ )	Prix auquel une unité du produit est vendue
RECETTE TOTALE ( $y$ )	Argent total reçu grâce à la vente

Équation de droite

Formule pour exprimer les recettes avec une fonction affine :

$y=m_r\cdot x$

$y$ : Recette totale
$m_r$ : Recette par unité
$x$ : Nombre d’unités vendues

Représentation graphique

La fonction est affine (passe par le point $(0\ ;\ 0)$ ) car si aucune unité du produit n’est vendue, les recettes sont également 0.
La recette par unité détermine la pente de la droite.

Exemple : Une entreprise vend des stylos au prix unitaire de $CHF\ 3,5$ .

Fonction des recettes : $y=3,5x$ .

Recettes totales pour la vente de $500$ stylos : $y=3,5\cdot500=\underline{1\ 500}$ .

Fonction des bénéfices

Définition

Le bénéfice est la différence entre les recettes et les coûts.

Remarque : Pour simplifier les calculs, on part du principe que la quantité produite est égale à la quantité vendue, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de production faite « en avance », ni de produits non vendus.

Équation de droite

Formule pour exprimer les bénéfices avec une fonction affine :

$y=m_b\cdot x-q_F$

$y$ : Bénéfice
$m_b$ : bénéfice par unité
$x$ : Nombre d’unités produites/vendues
$q_F$ : Coûts fixes

Remarque 1 : La pente $m_b$ est la différence entre la recette par unité vendue et le coût variable de production d’une unité : $m_b=m_r-m_c$ 

Remarque 2 : La valeur est aussi appelée « bénéfice brut », par opposition au « bénéfice net » qui ne prend pas en compte les coûts de production.

Représentation graphique

Les coûts fixes déterminent l’ordonnée à l’origine. La droite coupe l’axe $y$ au point $(0\ ;\ {-q}_F)$ .
Le bénéfice par unité détermine la pente de la droite.

Exemple :

Un producteur vend des tasses à $CHF\ 4$ la pièce. Ses coûts variables sont de CHF 3 par unité et ses coûts fixes s’élèvent à $CHF\ 400$ .

Fonction des bénéfices :

$y=\left(4-3\right)\cdot x-400\\y=x-400$

Calculer une équation de droite

A partir des coûts totaux de production, recettes ou bénéfices, on peut calculer les fonctions correspondantes.

MÉTHODE

1.	Détermine les coordonnées de deux points sur la droite : $P_1(x_{1\ };\ y_1$ ) et $P_2(x_{2\ };\ y_2$ ).
2.	Calcule la pente grâce à la formule : $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .
3.	Calcule l’ordonnée à l’origine $q=y_1-mx_1$ . Remarque : Tu peux aussi utiliser les coordonnées de $P_2$ .
4.	Substitue les valeurs de et de $q$ dans l’équation de droite : $y=mx+q$ .

Exemple : Une entreprise produit $100$ ampoules pour un coût total de $CHF\ 500$ . Pour produire $300$ ampoules, les coûts s’élèvent à $CHF\ 1100$ . Détermine la fonction des coûts.

Trouve deux points sur la droite.

Rappel : la coordonnée $x$ correspond au nombre d’unités et la coordonnée $y$ , aux coûts.

ampoules pour $CHF\ 500$ : $P_1(100\ ;\ 500)$ .

ampoules pour $CHF\ 1100$ : $P_2(300\ ;\ 1100)$ .

Calcule la pente :

$m=\frac{1100-500}{300-100}=3$ 

Calcule l’ordonnée à l’origine grâce aux coordonnées de $P_1$ :

$q=500-3\cdot100=200$ 

Remplace les valeurs dans l’équation de droite :

$y=3x+200$ 

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Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1