Intérêts composés et en cours d’année

Définition

Les intérêts composés sont des intérêts sur les intérêts. Si les intérêts ne sont pas payés, ils sont ajoutés au capital initial et sont par conséquent soumis à des intérêts au cours de la période suivante. 

Formules

Calcul du capital soumis à des intérêts pour un certain nombre d’années :

Utilisation des formules pour déterminer une donnée

On peut calculer une valeur en connaissant les autres grâce aux formules suivantes :

Exemple – Un compte contient CHF 9 875.10 au début de l’année. Quel était le capital de départ il y a 8 ans si le taux d’intérêt est de 7.5% ? 

Formule pour le capital de départ :

$$C_0=\frac{C_n}{\left(1+\frac{p}{100}\right)^n}$$​​

Substitue les valeurs données :

$$C_0=\frac{9'875.1}{\left(1+\frac{7.5}{100}\right)^8}$$​​

$$C_0=\frac{9'875.1}{{1.075}^8}\approx\underline{5'537}$$​​

Le compte contenait CHF $$\underline{5'537}$$​ il y a 8 ans.

Remarque : On arrondit souvent le résultat aux 5 centimes les plus proches.

Intérêts en cours d’année

Définition

Dans certains cas, on ne calcule pas les intérêts en fin d’année, mais plusieurs fois par année à intervalles réguliers (tous les trois mois par exemple).

Formule

Calcul du capital soumis à des intérêts en cours d’année.

Utilisation des formules pour déterminer une donnée

On peut calculer une valeur en connaissant les autres grâce aux formules suivantes :

Exemple – Un capital est passé de CHF 50'000 à CHF 61’646.30. Les intérêts calculés chaque mois étaient de 7%. Combien d’années se sont écoulées pour observer une telle croissance ? 

Formule pour le nombre d’années :

$$n=\frac{log{C_n-log{C_0}}}{log{\left(q\right)\cdot m}}$$​​

Valeurs à substituer :

$$q=1+\frac{7}{12\cdot100}=1.0058\bar{3}\\C_n=61'646.3\\C_0=50'000\\m=12$$​​

Substitution :

$$n=\frac{log{61646.3-log{50000}}}{(log{1.0058\bar{3}})\cdot12\ }\approx\underline{3}$$​​

Taux d’intérêt équivalent

Définition

Le « taux d’intérêt équivalent » est le taux d’intérêt annuel qui, à partir du même capital de départ, produit le même capital final qu’avec des intérêts en cours d’année.

Formule

MARCHE À SUIVRE

Exemple – On calcule des intérêts sur le capital tous les mois. Le taux mensuel est de 7%. Quel est le taux annuel équivalent ?

Substitue dans la formule :

$$q_e=\left(1+\frac{p}{m\cdot100}\right)^m=\left(1+\frac{7}{12\cdot100}\right)^{12}\approx1.0723$$​​

Taux annuel équivalent :

$$p_e=\left(1.0723-1\right)$$​​