Le nombre d'or : Fibonacci et la spirale

Définition

Le nombre d’or apparaît dans de nombreux domaines, comme la géométrie et la composition d’image, et même dans la nature. Il exprime une relation précise entre deux longueurs.

Prenons un rectangle dont les côtés mesurent $a+b$ pour le plus long et $a$ pour le plus court. On dit que ce rectangle possède des proportions qui respectent le nombre d’or si la fraction $\frac{a+b}{a}$ est égale à la fraction $\frac ab$ . Dans ce cas, cette fraction vaut nécessairement $1.618\ldots$ . On l’appelle le nombre d’or.

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\approx1.618$

$\frac{a}{a+b}\approx0.618$

$\frac{b}{a+b}\approx0.382$

On peut exprimer la valeur de $a$ et de $b$ à l’aide de la longueur totale $a+b$ .

$a=\frac{\sqrt5-1}{2}\cdot(a+b)$

$b=\frac{3-\sqrt5}{2}\cdot(a+b)$

Lien avec la suite de Fibonacci

Le rapport d’un membre de la suite de Fibonacci à son prédécesseur est une approximation du nombre d’or. Plus les nombres choisis dans la suite de Fibonacci sont grands, plus l’approximation est précise.