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Le nombre d'or : Fibonacci et la spirale

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Résumés

Le nombre d'or : Fibonacci et la spirale

Définition

Le nombre d’or apparaît dans de nombreux domaines, comme la géométrie et la composition d’image, et même dans la nature. Il exprime une relation précise entre deux longueurs.


Prenons un rectangle dont les côtés mesurent a+ba+b pour le plus long et aa pour le plus court. On dit que ce rectangle possède des proportions qui respectent le nombre d’or si la fraction a+ba\frac{a+b}{a} est égale à la fraction ab\frac ab. Dans ce cas, cette fraction vaut nécessairement 1.6181.618\ldots . On l’appelle le nombre d’or.


ab=a+ba1.618\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}\approx1.618​​


aa+b0.618\frac{a}{a+b}\approx0.618​​


ba+b0.382\frac{b}{a+b}\approx0.382​​


On peut exprimer la valeur de aa et de bb à l’aide de la longueur totale a+ba+b.


a=512(a+b)a=\frac{\sqrt5-1}{2}\cdot(a+b)​​


b=352(a+b)b=\frac{3-\sqrt5}{2}\cdot(a+b)​​



Lien avec la suite de Fibonacci

Le rapport d’un membre de la suite de Fibonacci à son prédécesseur est une approximation du nombre d’or. Plus les nombres choisis dans la suite de Fibonacci sont grands, plus l’approximation est précise.

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Le nombre d’or en géométrie

Le triangle d’or (ou triangle sublime)

On appelle triangle d’or un triangle isocèle dont le rapport entre un des deux côtés identiques et le dernier côté est le nombre d’or.  


da1.618\frac{d}{a}\approx1.618​​


Les angles d’un triangle d’or sont toujours 72°72°, 72°72° et 36°36°.


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Le pentagramme (étoile inscrite dans un pentagone régulier)

Dans cette figure, on retrouve plusieurs fois le nombre d’or : 

  • Le rapport des côtés aux diagonales :

ADAB1.618\frac{AD}{AB}\approx1.618​​

  • Subdivision des diagonales :

AFAD0.382,FGFD0.382,\frac{AF}{AD}\approx0.382, \frac{FG}{FD}\approx0.382, …​​


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La spirale d’or

La spirale d’or est construite à partir de quarts de cercles :

  • Le rapport entre les rayons est le nombre d’or.

On trouve ces spirales dans la nature :

  • Coquille d’escargot
  • Structure des plantes
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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce que le triangle d'or ?

Quel est le nombre d'or ?

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