3D et parallélépipèdes

Systèmes de coordonnées en 3D

Définition

Un système de coordonnées en trois dimensions possède trois axes :

L’axe des $x$
L’axe des $y$
L’axe des $z$

Les points sont décrits par trois coordonnées :

$P(x\ ;\ y\ ;\ z)$

Chaque paire d’axes forme un plan :

Axe des $x$ et axe des $y$	Plan $xy$
Axe des $x$ et axe des $z$	Plan $xz$
Axe des $y$ et axe des $z$	Plan $yz$

Mathématiques; Système de coordonnées; 11e Harmos / CO; 3D et parallélépipèdes

Parallélépipèdes

Situation

On considère un parallélépipède dans un système de coordonnées en 3D avec les caractéristiques suivantes :

Le sommet $A$ se trouve à l’origine $(0\ ;\ 0\ ;\ 0)$ .
Trois de ses arêtes sont sur un axe ( $x,\ y$ ou $z$ ).

Exemple

Mathématiques; Système de coordonnées; 11e Harmos / CO; 3D et parallélépipèdes

Déterminer les sommets

MÉTHODE

1.

Commence par déterminer les coordonnées des sommets qui sont sur les axes.

Remarque : Ces sommets-là ont toujours deux coordonnées égales à $0$ .

2.

Trouve les coordonnées des points qui se trouvent sur les plans $xy$ , $xz$ et $yz$ .

Remarque : Les coordonnées du point se trouvant sur le plan $xy$ peuvent être déterminées à l’aide des sommets sur l’axe des $x$ et sur l’axe des $y$ de l’étape 1 (et similairement pour les autres plans).

3.

Trouve les coordonnées du dernier point.

Remarque : En te basant sur tes résultats de l’étape 1, la coordonnée $x$ est celle du sommet sur l’axe des $x$ , la coordonnée $y$ est celle du sommet sur l’axe des $y$ et la coordonnée $z$ est celle du sommet sur l’axe des $z$ .

Exemple - Parallélépipède ci-dessus
Sommets sur les axes :

$\mathbf{B}\left(\mathbf{3}\ ;\ \mathbf{0}\ ;\ \mathbf{0}\right)\\D(0\ ;\ 4\ ;\ 0)\\\mathbf{E}\left(\mathbf{0}\ ;\ \mathbf{0}\ ;\ \mathbf{2}\right)$

Sommets sur les plans $\mathbf{xy}, \mathbf{xz}$ et $\mathbf{yz}:$

$\mathbf{C}\left(\mathbf{3}\ ;\ \mathbf{4}\ ;\ \mathbf{0}\right)\\F\left(3\ ;\ 0\ ;\ 2\right)\\\mathbf{F}(\mathbf{0}\ ;\ \mathbf{4}\ ;\ \mathbf{2})$

Coordonnées du dernier point :

$\mathbf{G}(\mathbf{3}\ ;\ \mathbf{4}\ ;\ \mathbf{2})$