Loi des sinus et des cosinus

Définition

Les lois du sinus et du cosinus s’appliquent à tous les triangles. Ils établissent un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

Formules

Remarque : si un angle est $$90°$$​, alors son cosinus est $$0$$​ et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore : $$c^2=a^2+b^2$$.

Appliquer la loi des cosinus et du cosinus

Le tableau suivant montre quelle loi utiliser afin de déterminer les valeurs manquantes dans un triangle donné.

Exemple – Loi des sinus

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs :

$$a=5cm$$​, $$\alpha=30°$$ et $$\beta=70°$$​

Somme des angles 180° : 

$$\gamma=180°-30°-70°=80°$$​​

Loi des sinus pour b :

$$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}$$​​

​$$b=\frac{5cm\cdot sin(70°)}{sin(30°)}$$​​

​$$b\approx9.4cm$$​​

Loi des sinus pour c :

​$$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{c}{sin(80°)}$$​​

​$$c=\frac{5cm\cdot sin(80°)}{sin(30°)}$$​​

​$$c\approx9.85cm$$​​

Exemple – Loi des cosinus

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs :

$$\alpha=30°$$​, $$b=10cm$$​, et $$c=7cm$$

Loi des cosinus pour a :

$$a^2={10}^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot cos30°$$​​

$$a\approx5.29cm$$​​

Calculer les angles $$\beta\$$​ et $$\gamma$$ avec la loi des cosinus ou des sinus :

$$\frac{5.29cm}{sin(30°)}=\frac{10cm}{sin(β)}$$​​

$$sin\left(\beta\right)=\frac{sin(30°) \cdot 10cm}{5.29cm}$$​​

$$\beta\approx70.1°$$​​

Somme des angles 180° : 

$$\gamma=180°-30°-70.1°=79.9°$$​​