Loi des sinus et des cosinus

Définition

Les lois du sinus et du cosinus s’appliquent à tous les triangles. Ils établissent un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

Loi des sinus

$\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}$

Les rapports entre chaque côté et le sinus de l’angle opposé sont les mêmes.

Loi des cosinus

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\left(\gamma\right)$

Formule de l’aire

$Aire=\frac{1}{2}bc\cdot s i n{\left(\alpha\right)}=\frac{1}{2}ab\cdot s i n{\left(\gamma\right)}=\frac{1}{2}ac\cdot sin(\beta)$

Remarque : si un angle est $90°$ , alors son cosinus est $0$ et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore : $c^2=a^2+b^2$ .

Le tableau suivant montre quelle loi utiliser afin de déterminer les valeurs manquantes dans un triangle donné.

Côtés/angles donnés		Ensemble de solutions	Loi possible
Un côté et deux angles		Solution unique	Loi des sinus
Deux côtés et un angle	Angle adjacent aux deux cotés donnés	Solution unique	Loi des cosinus
	Angle adjacent au plus long des côtés donnés	Pas de solution unique	Loi des sinus
	Angle adjacent au plus court des côtés donnés	Solution unique	Loi des sinus
Tous les côtés		Solution unique	Loi des cosinus
Tous les angles		Pas de solution unique	-

Exemple – Loi des sinus

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs :

$a=5cm$ , $\alpha=30°$ et $\beta=70°$ 

Somme des angles 180° :

$\gamma=180°-30°-70°=80°$

Loi des sinus pour b :

$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}$ 

$b=\frac{5cm\cdot sin(70°)}{sin(30°)}$

$b\approx9.4cm$

Loi des sinus pour c :

$\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{c}{sin(80°)}$

$c=\frac{5cm\cdot sin(80°)}{sin(30°)}$

$c\approx9.85cm$

Exemple – Loi des cosinus

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs :

$\alpha=30°$ , $b=10cm$ , et $c=7cm$

Loi des cosinus pour a :

$a^2={10}^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot cos30°$ 

$a\approx5.29cm$ 

Calculer les angles $\beta\$ et $\gamma$ avec la loi des cosinus ou des sinus :

$\frac{5.29cm}{sin(30°)}=\frac{10cm}{sin(β)}$ 

$sin\left(\beta\right)=\frac{sin(30°) \cdot 10cm}{5.29cm}$ 

$\beta\approx70.1°$ 

Somme des angles 180° :

$\gamma=180°-30°-70.1°=79.9°$ 