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Loi des sinus et des cosinus

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Résumés

Loi des sinus et des cosinus

Définition

Les lois du sinus et du cosinus s’appliquent à tous les triangles. Ils établissent un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.


Mathématiques; Transformations géométriques; 2e Collège; Loi des sinus et des cosinus


Formules

Loi des sinus

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}sin(α)a​=sin(β)b​=sin(γ)c​​​

Les rapports entre chaque côté et le sinus de l’angle opposé sont les mêmes.

Loi des cosinus

​a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\left(\alpha\right)\\b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos\left(\beta\right)\\c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\left(\gamma\right)a2=b2+c2−2bc⋅cos(α)b2=a2+c2−2ac⋅cos(β)c2=a2+b2−2ab⋅cos(γ)​​

Formule de l’aire

​Aire=12bc⋅sin(α)=12ab⋅sin(γ)=12ac⋅sin(β)Aire=\frac{1}{2}bc\cdot s i n{\left(\alpha\right)}=\frac{1}{2}ab\cdot s i n{\left(\gamma\right)}=\frac{1}{2}ac\cdot sin(\beta)Aire=21​bc⋅sin(α)=21​ab⋅sin(γ)=21​ac⋅sin(β)​​


Remarque : si un angle est 90°90°90°​, alors son cosinus est 000​ et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore : c2=a2+b2c^2=a^2+b^2c2=a2+b2.



Appliquer la loi des cosinus et du cosinus

Le tableau suivant montre quelle loi utiliser afin de déterminer les valeurs manquantes dans un triangle donné.


Côtés/angles donnés

Ensemble de solutions

Loi possible

Un côté et deux angles 

Solution unique

Loi des sinus

Deux côtés et un angle

Angle adjacent aux deux cotés donnés

Solution unique

Loi des cosinus

Angle adjacent au plus long des côtés donnés

Pas de solution unique

Loi des sinus

Angle adjacent au plus court des côtés donnés

Solution unique

Loi des sinus

Tous les côtés

Solution unique

Loi des cosinus

Tous les angles

Pas de solution unique

-


Exemple – Loi des sinus

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs :

a=5cma=5cma=5cm​, α=30°\alpha=30°α=30° et β=70°\beta=70°β=70°​


Somme des angles 180° : 

γ=180°−30°−70°=80°\gamma=180°-30°-70°=80°γ=180°−30°−70°=80°​​


Loi des sinus pour b :

5cmsin(30°)=bsin(70°)\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}sin(30°)5cm​=sin(70°)b​​​


​b=5cm⋅sin(70°)sin(30°)b=\frac{5cm\cdot sin(70°)}{sin(30°)}b=sin(30°)5cm⋅sin(70°)​​​


​b≈9.4cmb\approx9.4cmb≈9.4cm​​


Loi des sinus pour c :

​5cmsin(30°)=csin(80°)\frac{5cm}{sin(30°)}=\frac{c}{sin(80°)}sin(30°)5cm​=sin(80°)c​​​


​c=5cm⋅sin(80°)sin(30°)c=\frac{5cm\cdot sin(80°)}{sin(30°)}c=sin(30°)5cm⋅sin(80°)​​​


​c≈9.85cmc\approx9.85cmc≈9.85cm​​


Exemple – Loi des cosinus

Détermine les côtés et les angles manquants du triangle avec les valeurs :

α=30°\alpha=30°α=30°​, b=10cmb=10cmb=10cm​, et c=7cmc=7cmc=7cm


Loi des cosinus pour a :

a2=102+72−2⋅10⋅7⋅cos30°a^2={10}^2+7^2-2\cdot10\cdot7\cdot cos30°a2=102+72−2⋅10⋅7⋅cos30°​​


a≈5.29cma\approx5.29cma≈5.29cm​​

Calculer les angles β \beta\ β ​ et γ\gammaγ avec la loi des cosinus ou des sinus :


5.29cmsin(30°)=10cmsin(β)\frac{5.29cm}{sin(30°)}=\frac{10cm}{sin(β)}sin(30°)5.29cm​=sin(β)10cm​​​


sin(β)=sin(30°)⋅10cm5.29cmsin\left(\beta\right)=\frac{sin(30°) \cdot 10cm}{5.29cm}sin(β)=5.29cmsin(30°)⋅10cm​​​


β≈70.1°\beta\approx70.1°β≈70.1°​​


Somme des angles 180° : 

γ=180°−30°−70.1°=79.9°\gamma=180°-30°-70.1°=79.9°γ=180°−30°−70.1°=79.9°​​



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Loi des sinus et des cosinus

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quand utiliser la loi des cosinus ?

Lorsque tu connais deux côtés et un angle par exemple, tu peux l'utiliser pour calculer les autres informations manquantes. Pense toujours à combiner avec les autres formules si tu as l'impression qu'il te manque des informations.

C'est quoi la loi des sinus ?

La loi des sinus explique que le rapport entre un angle et son côté opposé est toujours le même. Tu peux utiliser cette formule pour trouver un côté manquant si tu connais un angle et son côté opposé et l'angle opposé au côté manquant.

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