Solides de Platon : propriétés et dual

Définition

Un solide de Platon est un solide dont le développement est constitué de polygones réguliers. Cela signifie que ses faces sont des polygones dont les côtés sont de même longueur et que toutes ses faces sont identiques.

Propriétés

Propriétés générales :

• Toutes les arêtes ont la même longueur.
  
• Tous les sommets ont la même distance du centre.
  
• Toutes les faces latérales sont des polygones réguliers égaux.
  

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Les cinq solides de Platon

Tétraèdre

DÉVELOPPEMENT

• 4 faces latérales sont des triangles équilatéraux
  
• Angle interne de 60°
  

Hexaèdre (cube)

DÉVELOPPEMENT

• 6 faces latérales sont des carrés
  
• Angle interne de 90°
  

Octaèdre

Remarque : Pour calculer le volume d’un octaèdre, on peut le diviser en deux pyramides.

DÉVELOPPEMENT

• 8 faces latérales sont des triangles équilatéraux
  
• Angle interne de 60°
  

Dodécaèdre

DÉVELOPPEMENT

• 12 faces latérales sont des pentagones réguliers
  
• Angle interne de 108°
  

Icosaèdre

DÉVELOPPEMENT

• 20 faces latérales sont des triangles équilatéraux
  
• Angle interne de 60°
  

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Dual de polyèdres

Si on connecte les centres des faces latérales, un deuxième polyèdre est créé. On l’appelle le « dual » du solide original.

Solides de Platon et leur dual

 Exemples

Méthode pour les exercices types

Volume d’une sphère circonscrite 

• Une sphère circonscrite est une sphère qui entoure un solide. Plus précisément, chaque sommet du solide doit toucher la sphère.
  
• Propriétés de la sphère circonscrite :
  
  • Le centre de la sphère et le centre du solide sont les mêmes.
    
  • La distance du centre à chaque sommet du solide correspond au rayon de la sphère.
    

Méthode de calcul du volume d’une sphère circonscrite

Conseil pour l’hexaèdre

• Calcule la diagonale du solide $$d.$$​
• La diagonale est le diamètre de la sphère circonscrite. Le rayon est donc $$r=\frac{d}{2}.$$​
• En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient $$d=\sqrt3a.$$​

Conseil pour l’octaèdre 

• Calcule la diagonale $$d$$​ de la surface carrée au milieu.
• La diagonale est le diamètre de la sphère circonscrite. Le rayon est donc $$r=\frac{d}{2}$$​
  
• En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient $$d=\sqrt2a$$​
  

Calculer le nombre d’arêtes

Combien d’arêtes un solide de Platon possède-t-il ?

MÉTHODE

Exemple sur le dodécaèdre

Faces latérales : 12

Arêtes par face : 5

Arêtes : 

$$\frac{12\cdot5}{2}=\underline{30\ Ar\hat{e}tes}$$​​

Calculer le nombre de sommets

Combien de sommets un solide de Platon possède-t-il ?

MÉTHODE

Exemple sur le dodécaèdre

Faces latérales : 12

Arêtes par face : 5

Faces adjacentes à chaque sommet : 3

Sommets : 

$$\frac{12\cdot5}{3}=\underline{20\ Sommets}$$​​