Un solide de Platon est un solide dont le développement est constitué de polygones réguliers. Cela signifie que ses faces sont des polygones dont les côtés sont de même longueur et que toutes ses faces sont identiques.
Propriétés
Propriétés générales:
Toutes les arêtes ont la même longueur.
Tous les sommets ont la même distance du centre.
Toutes les faces latérales sont des polygones réguliers égaux.
Les cinq solides de Platon
Tétraèdre
DÉVELOPPEMENT
4 faces latérales sont des triangles équilatéraux
Angle interne de 60°
Hexaèdre (cube)
DÉVELOPPEMENT
6 faces latérales sont des carrés
Angle interne de 90°
Octaèdre
Remarque : Pour calculer le volume d’un octaèdre, on peut le diviser en deux pyramides.
DÉVELOPPEMENT
8 faces latérales sont des triangles équilatéraux
Angle interne de 60°
Dodécaèdre
DÉVELOPPEMENT
12 faces latérales sont des pentagones réguliers
Angle interne de 108°
Icosaèdre
DÉVELOPPEMENT
20 faces latérales sont des triangles équilatéraux
Angle interne de 60°
Dual de polyèdres
Si on connecte les centres des faces latérales, un deuxième polyèdre est créé. On l’appelle le «dual»du solide original.
Solides de Platon et leur dual
SOLIDE
DUAL
Tétraèdre
Tétraèdre
Hexaèdre
Octaèdre
Octaèdre
Hexaèdre
Dodécaèdre
Icosaèdre
Icosaèdre
Dodécaèdre
Exemples
Méthode pour les exercices types
Volume d’une sphère circonscrite
Une sphère circonscrite est une sphère qui entoure un solide. Plus précisément, chaque sommet du solide doit toucher la sphère.
Propriétés de la sphère circonscrite :
Le centre de la sphère et le centre du solide sont les mêmes.
La distance du centre à chaque sommet du solide correspond au rayon de la sphère.
Méthode de calcul du volume d’une sphère circonscrite
1.
Calcule le rayon de la sphère circonscrite.
2.
Calcule le volume de cette sphère :
V=34⋅π⋅r3
Conseil pour l’hexaèdre
Calcule la diagonale du solided.
La diagonale est le diamètre de la sphère circonscrite. Le rayon est doncr=2d.
En utilisant le théorème de Pythagore, on obtientd=3a.
Conseil pour l’octaèdre
Calcule la diagonaledde la surface carrée au milieu.
La diagonale est le diamètre de la sphère circonscrite. Le rayon est doncr=2d
En utilisant le théorème de Pythagore, on obtientd=2a
Calculer le nombre d’arêtes
Combien d’arêtes un solide de Platon possède-t-il ?
MÉTHODE
1.
Détermine le nombre de faces.
2.
Détermine le nombre d’arêtes par face.
3.
Calcule le nombre d’arête du solide :2Nombredefaces⋅Nombred′are^tesparface
Exemple sur le dodécaèdre
Faces latérales : 12
Arêtes par face : 5
Arêtes :
212⋅5=30Are^tes
Calculer le nombre de sommets
Combien de sommets un solide de Platon possède-t-il ?
MÉTHODE
1.
Détermine le nombre de faces.
2.
Détermine le nombre de sommets par face.
3.
Détermine le nombre de faces adjacentes à chaque sommet.
4.
Calcule le nombre de sommets :NombredefacesadjacentesaˋchaquesommetNombredefaces⋅Nombred′aretesparfaces
Exemple sur le dodécaèdre
Faces latérales : 12
Arêtes par face : 5
Faces adjacentes à chaque sommet : 3
Sommets :
312⋅5=20Sommets
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Durée:
Unité 1
Solides de Platon : propriétés et dual
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Quels sont les solides de Platon ?
Les solides de Platon sont le tétraèdre, l'hexaèdre, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
Quelles sont les propriétés d'un solide de Platon ?
Les propriétés générales sont :
• Toutes les arêtes ont la même longueur.
• Tous les sommets ont la même distance du centre.
• Toutes les faces latérales sont des polygones réguliers égaux.
C'est quoi un solide de Platon ?
Un solide de Platon est un solide dont le développement est constitué de polygones réguliers. Cela signifie que ses faces sont des polygones dont les côtés sont de même longueur et que toutes ses faces sont identiques.
