Solides de Platon : propriétés et dual

Définition

Un solide de Platon est un solide dont le développement est constitué de polygones réguliers. Cela signifie que ses faces sont des polygones dont les côtés sont de même longueur et que toutes ses faces sont identiques.

Propriétés

Propriétés générales :

Toutes les arêtes ont la même longueur.
Tous les sommets ont la même distance du centre.
Toutes les faces latérales sont des polygones réguliers égaux.

Les cinq solides de Platon

Tétraèdre

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DÉVELOPPEMENT

4 faces latérales sont des triangles équilatéraux
Angle interne de 60°

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Hexaèdre (cube)

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DÉVELOPPEMENT

6 faces latérales sont des carrés
Angle interne de 90°

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Octaèdre

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Remarque : Pour calculer le volume d’un octaèdre, on peut le diviser en deux pyramides.

DÉVELOPPEMENT

8 faces latérales sont des triangles équilatéraux
Angle interne de 60°

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Dodécaèdre

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DÉVELOPPEMENT

12 faces latérales sont des pentagones réguliers
Angle interne de 108°

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Icosaèdre

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DÉVELOPPEMENT

20 faces latérales sont des triangles équilatéraux
Angle interne de 60°

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Dual de polyèdres

Si on connecte les centres des faces latérales, un deuxième polyèdre est créé. On l’appelle le « dual » du solide original.

Solides de Platon et leur dual

SOLIDE	DUAL
Tétraèdre	Tétraèdre
Hexaèdre	Octaèdre
Octaèdre	Hexaèdre
Dodécaèdre	Icosaèdre
Icosaèdre	Dodécaèdre

Exemples

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Méthode pour les exercices types

Volume d’une sphère circonscrite

Une sphère circonscrite est une sphère qui entoure un solide. Plus précisément, chaque sommet du solide doit toucher la sphère.
Propriétés de la sphère circonscrite :
- Le centre de la sphère et le centre du solide sont les mêmes.
- La distance du centre à chaque sommet du solide correspond au rayon de la sphère.

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Méthode de calcul du volume d’une sphère circonscrite

1.

Calcule le rayon de la sphère circonscrite.

2.

Calcule le volume de cette sphère :

$V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$

Conseil pour l’hexaèdre

Calcule la diagonale du solide $d.$ 
La diagonale est le diamètre de la sphère circonscrite. Le rayon est donc $r=\frac{d}{2}.$ 
En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient $d=\sqrt3a.$

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Conseil pour l’octaèdre

Calcule la diagonale $d$  de la surface carrée au milieu.
La diagonale est le diamètre de la sphère circonscrite. Le rayon est donc $r=\frac{d}{2}$ 
En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient $d=\sqrt2a$

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Calculer le nombre d’arêtes

Combien d’arêtes un solide de Platon possède-t-il ?

MÉTHODE

1.	Détermine le nombre de faces.
2.	Détermine le nombre d’arêtes par face.
3.	Calcule le nombre d’arête du solide : $\frac{Nombre\ de\ faces\ \cdot\ Nombre\ d^\prime a r\hat{e}tes\ par\ face}{2}$

Exemple sur le dodécaèdre

Faces latérales : 12

Arêtes par face : 5

Arêtes :

$\frac{12\cdot5}{2}=\underline{30\ Ar\hat{e}tes}$

Calculer le nombre de sommets

Combien de sommets un solide de Platon possède-t-il ?

MÉTHODE

1.	Détermine le nombre de faces.
2.	Détermine le nombre de sommets par face.
3.	Détermine le nombre de faces adjacentes à chaque sommet.
4.	Calcule le nombre de sommets : $\frac{Nombre\ de\ faces\ \cdot Nombre\ d'aretes\ par\ faces}{Nombre\ de\ faces\ adjacentes\ à\ chaque sommet}$

Exemple sur le dodécaèdre

Faces latérales : 12

Arêtes par face : 5

Faces adjacentes à chaque sommet : 3

Sommets :

$\frac{12\cdot5}{3}=\underline{20\ Sommets}$