Cône : volume, apothème et aire

Définition

Le cône est un solide qui ressemble à une pyramide dont la base est un cercle. Sa base est un disque et sa face latérale est un secteur circulaire. Le rayon du secteur circulaire est appelé « apothème ».

Mathématiques; Propriétés des solides; 11e Harmos / CO; Cône : volume, apothème et aire

Formules

$r$ : rayon de la base

$h$ : hauteur du cône

$\alpha$ : angle du secteur de la face latérale

$A$ : apothème

Volume

$V=\frac{h\cdot\pi\cdot r^2}{3}$

Apothème

$A=\sqrt{h^2+r^2}$

Remarque : $A,h$ et $r$ forment un triangle rectangle. $A$ est l’hypoténuse.

Aire latérale A_L

L’aire de la face latérale est l’aire d’un secteur d’angle $\alpha$ et de rayon $A$ .

$A_L=\pi\cdot A^2\cdot\frac{\alpha}{360}$

Aire totale de la surface $\mathbf{A}_\mathbf{T}$

Aire totale = aire latérale + aire de la base

$A_T=A_L+\pi\cdot r^2$

Exemple – Cône avec rayon $5cm$ et hauteur $7cm$ .

Volume :

$V=\frac{\pi\cdot5^2\cdot7}{3}cm^3\approx\underline{183.26\ cm^3}$ 

Méthode pour les exercices types

Calculer les volumes de solides complexes

MÉTHODE

1.	Divise le solide complexe en solides simples : cubes, pavés droits, prismes, cylindres, cônes.
2.	Détermine les longueurs permettant de calculer le volume des solides simples.
3.	Calcule le volume de chaque solide simple.
4.	Additionne les volumes des solides individuels.

Exemple - Calcule le volume du solide suivant :

Mathématiques; Propriétés des solides; 11e Harmos / CO; Cône : volume, apothème et aire

Sections :

Mathématiques; Propriétés des solides; 11e Harmos / CO; Cône : volume, apothème et aire

Cône :

$\frac{3\cdot\pi\cdot{4.5}^2}{3}\approx63.6cm^3$ 

Cylindre :

$3\cdot\pi\cdot{4.5}^2\approx190.8cm^3$ 

Pavé droit :

$3\cdot9\cdot9=243cm^3$ 

Volume total :

$63.6+190.8+243=\underline{497.4cm^3}$ 