Volumes et surfaces : unité et calcul

Définition

Volume

Le volume d’un objet représente la portion d’espace qu’il occupe.

UNITÉS DE MESURE

L’unité de volume :	le mètre cube ( $m^3$ )	$2mm^3, 7{cm}^3, 0.5{dm}^3$
L’unité de contenance :	le litre ( $l$ )	$99ml, 2cl, 3.5dl, 1.3l$

Surface

La surface d’un objet est la somme des aires de ses faces extérieures. La surface se mesure en ${km}^2,\ m^2,\ {cm}^2,\ {mm}^2\$ etc.

Calcul du volume

Cube

Toutes les faces sont des carrés. Tous les côtés ont la même longueur. Le cube est un cas particulier du pavé droit.

$Volume\ V=a^3$

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Pavé droit (parallélépipède rectangle)

Toutes les faces sont des rectangles (elles peuvent donc aussi être des carrés). Tous les côtés parallèles ont la même longueur.

$V=a\cdot b\cdot c$

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Calculer le volume d’un cube ou pavé droit

1.	Déterminer la longueur, largeur et profondeur
2.	Multiplier ces trois valeurs.

Exemple – Cube dont le côté mesure $5cm$ .

Volume :

$V=5cm\cdot5cm\cdot5cm=125cm^3$ 

Exemple – Pavé droit dont les côtés mesurent $a=2cm$ , $b=3cm$ und $c=5cm$ .

Volume :

$V=2cm\cdot3cm\cdot5cm=30cm^3$ 

Déterminer une mesure manquante

Dans certains exercices, le volume est donné et il est demandé de trouver la longueur d’un côté.

Pour le cube :	Prendre la racine cubique du volume.
Pour le pavé droit :	Parmi la longueur, la largeur et la profondeur, deux valeurs sont données. Pour trouver la troisième, divise le volume par ces deux valeurs.

Exemple – Cube dont le volume mesure $27cm^3$ .

Longueur des côtés :

$a=\sqrt[3]{27cm^3}=3cm$ 

Exemple – Pavé de $30cm^3$ dont la longueur est de $5cm$ et la largeur de $2cm$ 

Profondeur :

$30\div5\div2=3cm$ 

Méthode pour les exercices types

Solide composé de pavés droits

1.	Divise le solide en pavés droits.
2.	Détermine les longueurs nécessaires des différents pavés droits (longueur, largeur et hauteur).
3.	Calcule le volume de chaque pavé droit.
4.	Additionne les volumes.

Exemple

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Volumes individuels

$V_1=7\cdot4\cdot3=84cm^3\\V_2=4\cdot4\cdot3=48cm^3\\V_3=4\cdot6\cdot2=48cm^3$ 

Volume total

$V=84cm^3+48cm^3+48cm^3=\underline{180cm^3}$ 

Calculer les surfaces

1.	Sépare les différentes faces du solide.
2.	Détermine les longueurs nécessaires pour calculer l’aire de chaque face (longueur et largeur). Si nécessaire, divise les faces en rectangles.
3.	Calcule l’aire de chaque rectangle.
4.	Additionne les aires.

Exemple

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Aires individuelles :

$F_1=2\cdot4=8cm^2\\F_2=4\cdot4=16cm^2\\F_3=5\cdot6-2\cdot3=24cm^2\\F_4=4\cdot5=20cm^2\\F_5=4\cdot6=24cm^2\\F_6=5\cdot6-2\cdot3=24cm^2\\F_7=2\cdot4=8cm^2\\F_8=3\cdot4=12cm^2$ 

Aire totale :

$F_G=2\cdot8cm^2+16cm^2+3\cdot24cm^2+20cm^2+12cm^2=\underline{136cm^2}$ 