Fonction inverse : propriétés

Fonction inverse

Définition

Une fonction attribue une valeur $$y$$​ à chaque valeur $$x$$​. Lorsque c’est possible, la fonction inverse réattribue la valeur $$x$$​ d’origine à chaque valeur $$y$$​. Dans le système de coordonnées, la fonction et sa fonction inverse sont axisymétriques par rapport à la droite $$y=x$$​. Les rôles des variables $$x,y$$​ sont échangés

Propriétés

• Toutes les fonctions ne sont pas inversibles sur l’ensemble de leur domaine de définition.
  
• Les fonctions sont inversibles si pour chaque valeur $$y$$​ dans l’ensemble d’arrivée, il existe exactement une valeur $$x$$​ dans le domaine de définition.
  
• La fonction inverse est généralement notée avec «$$-1$$​» à l’exposant : $$f^{-1}(x)$$​.
  

Domaine de définition et ensemble d’arrivée

CAS GÉNÉRAUX

Le domaine de définition et l’ensemble d’arrivée de la fonction inverse sont inversés :

• $$\mathbb{D}_{f^{-1}}=Im(f)$$​​
  
• ​$$Im(f^{-1})=\mathbb{D}_f$$​​
  

FONCTIONS NON INVERSIBLES

Dans le cas des fonctions non inversibles, on peut restreindre le domaine de définition pour que la fonction soit inversible sur le nouveau domaine de définition.

Remarque : On peut séparer le domaine de définition original en domaines différents où la fonction est inversible et calculer la fonction inverse dans un ou l’autre de ces domaines. 

Déterminer la fonction inverse

Une fonction est donnée.

MÉTHODE

Fonction inverse de fonctions types

Fonctions affines

Les fonctions affines non constantes sont toujours inversibles.

La fonction inverse est à nouveau une fonction affine.

Exemple : $$f\left(x\right)=2x+2$$​, $$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Échange $$x$$​ et $$y$$​ :

$$x=2y+2$$​​

Résous en $$y$$​ :

​$$x-2=2y\\\frac{x}{2}-1=y$$​​

Fonction inverse :

$$f^{-1}\left(x\right)=\frac{1}{2}x-1$$​​

Représentation graphique :

Fonctions quadratiques 

Pour inverser une fonction quadratique, il faut restreindre le domaine de définition. On peut soit choisir l’intervalle à gauche soit l’intervalle à droite du sommet. On évite ainsi d’avoir plusieurs valeurs de $$x$$​ pour la même valeur de $$y$$​.

La fonction inverse est une fonction racine.

Exemple : $$f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2$$​​

Non inversible	Inversible
​$$\mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​	​$$\mathbb{D}=[1,\infty)$$​​

Domaine de définition possible :

$$\mathbb{D}=[1,\infty)$$​​

Échange $$x$$​ et $$y$$​ :

$$x=\left(y-1\right)^2$$​​

Résous en $$y$$​ :

$$\sqrt x=y-1\\\sqrt x+1=y$$​​

Ensemble d’arrivée : $$\mathbb{A}_{f^{-1}}=\mathbb{D}_f=[1,\infty)$$

Fonction inverse :

$$f^{-1}(x)=\sqrt x+1$$​​

Représentation graphique :

Autres fonctions puissances

EXPOSANT IMPAIR

Les fonctions puissances $$f\left(x\right)=x^n$$​ avec un exposant impair ($$n=1,\ 3,\ 5,\ldots$$​) sont toujours inversibles.

La fonction inverse est une fonction racine.

Exemple $$f\left(x\right)=x^3$$​, $$\ \mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Échange $$x$$​ et $$y$$​ :

$$x=y^3$$​​

Résous en $$y$$​ :

$$\sqrt[3]{x}=y$$​​

Fonction inverse :

$$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$$​​

Représentation graphique :

EXPOSANT PAIR

Pour inverser une fonction puissance avec $$\ f\left(x\right)=x^n$$​ un exposant pair ($$n=2,\ 4,\ 6,\ldots$$​​), il faut restreindre le domaine de définition au domaine à gauche ou à droite du sommet.

La fonction inverse est une fonction racine.

Exemple $$f\left(x\right)=x^4$$​​

Domaine de définition choisi :

$$\mathbb{D}=[0,\infty)$$​​

Échange $$x$$​ et $$y$$​ :

$$x=y^4$$​​

Résous en $$y$$​ :

$$\sqrt[4]{x}=y$$​​

Fonction inverse :

$$f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x}$$​​

Représentation graphique :

Fonctions racines

EXPOSANT IMPAIR

Les fonctions racines $$\ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$$​ avec un exposant impair ($$n=1,\ 3,\ 5,\ldots$$​) sont toujours inversibles.

La fonction inverse est une fonction puissance.

Exemple : $$f\left(x\right)=\sqrt[5]{x}$$​, $$\ \mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Échange $$x$$​ et $$y$$​ :

$$x=\sqrt[5]{y}$$​​

Résous en $$y$$​ :

$$x^5=y$$​​

Fonction inverse :

$$f^{-1}(x)=x^5$$​​

Représentation graphique :

EXPOSANT PAIR

Les fonctions racines $$\ f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$$​ avec un exposant pair ($$n=2,\ 4,\ 6,\ldots$$​) sont toujours inversibles sur leur domaine de définition $$\mathbb{D}=[0,\infty)$$​. 

La fonction inverse est une fonction puissance.

Exemple $$f\left(x\right)=\sqrt[4]{x}$$​, $$\mathbb{D}=[0,\infty)$$​​

Échange $$x$$​ et $$y$$​ :

$$x=\sqrt[4]{y}$$​​​

Résous en $$y$$​ :

$$x^4=y$$​​​

Fonction inverse :

$$f^{-1}(x)=x^4$$​​

Représentation graphique :

Fonctions exponentielles et logarithmiques

Les fonctions exponentielles $$f(x)=a^x$$​ et les fonctions logarithmes $$f(x)={log}_a{(x)}$$​ avec une base positive ($$a>0$$​) sont toujours inversibles.

La fonction inverse d'une fonction exponentielle est une fonction logarithmique.

La fonction inverse d'une fonction logarithmique est une fonction exponentielle.

Exemple : $$f\left(x\right)=2^x$$​, $$\ \mathbb{D}=\mathbb{R}$$​​

Échange $$x$$​ et $$y$$​ :

​$$x=2^y$$​​

Résous en $$y$$​ :

$${log}_2{(x)}=y$$​​

Fonction inverse :

$$f^{-1}(x)={log}_2{(x)}$$​​

Représentation graphique :