Inversion de fonctions affines

Fonction inverse

Définition

Une fonction attribue une valeur $$y$$​  à chaque valeur $$x$$​. Lorsque c’est possible, la fonction inverse réattribue la valeur $$x$$​ d’origine à chaque valeur $$y$$​. Dans le système de coordonnées, la fonction et sa fonction inverse sont axisymétriques par rapport à la droite $$y=x$$​ . Les rôles des variables $$x,y$$ sont échangés.

Remarque : La fonction inverse est généralement notée avec «$$-1$$​  » à l’exposant : $$f^{-1}(x)$$​ .

Fonction inverse d’une fonction affine

La fonction inverse d’une fonction affine est également affine.

Déterminer la fonction inverse - calcul

Le graphe de la fonction inverse est obtenu en échangeant les variables dans l’équation de la droite et en résolvant en $$y$$.

La fonction affine $$f(x)=mx+q$$ est donnée.

Son équation est donnée par $$y=mx+q$$​ .

Méthode

Exemple

$$f(x)=2x+2$$​

Échange $$x$$​ et $$y$$​ :

​$$x=2y+2$$​​

Résous en $$y$$ :

$$x-2=2y\\\frac{x}{2}-1=y$$​​

Fonction inverse :

​$$f^{-1} (x)=\frac{x}{2}-1$$​​

Déterminer la fonction inverse - graphiquement

Le graphe de la fonction inverse est obtenu par symétrie axiale. On reflète le graphe de la fonction par rapport à la droite $$y=x$$:

Méthode

Exemple

$$f(x)=2x+2$$