Fonction logarithmique : propriétés et déplacements

Définition

Dans une fonction logarithmique, la variable apparaît comme argument d’un logarithme.

$f\left(x\right)={log}_a{\left(x\right)}$

La base est un nombre constant supérieur à zéro : $a\in\mathbb{R}^+$ .

La fonction logarithme est la fonction inverse $f^{-1}$ de la fonction exponentielle $f$ :

$f \rightarrow f^{-1}\\a^x \rightarrow {log}_a{\left(x\right)}$

Les fonctions logarithmiques de la forme ${log}_a{\left(x\right)}$ peuvent être appelées fonctions de base des fonctions logarithmiques.

f\left(x\right)={log}_2{\left(x\right)}

f\left(x\right)={log}_3{\left(x\right)}

f\left(x\right)={log}_{10}{\left(x\right)=lg{\left(x\right)}}

f\left(x\right)=ln\left(x\right)

\dots

Pour toutes les bases $a$ , la fonction est seulement définie pour les valeurs de $x$ supérieures à zéro :

$\mathbb{D}\ =\ \mathbb{R}_{>0}$

Pour toutes les bases $a$ , la fonction atteint toutes les valeurs réelles de $y$ .

Chaque fonction de base…

$\mathbf{a}>\mathbf{1}$	$\mathbf{0}<\mathbf{a}<\mathbf{1}$

Tableau de valeurs pour $f(x)=\ {log}_2{\left(x\right)}$ :	Tableau de valeurs pour $f(x)=\ {log}_{0.5}{\left(x\right)}$ :

Les fonctions logarithmiques générales sont une forme modifiée des fonctions de base.

$f\left(x\right)=b\cdot{log}_a{(x-c)+d}$

$a$	Base de la fonction logarithme
$b$	Facteur
$c$	Déplacement horizontal
$d$	Déplacement vertical

Pour toutes les bases $a$ , le domaine de définition se décale de $c$ ( $x>c$ ) :

$\mathbb{D}=\mathbb{R}>c$

Pour toutes les bases $a$ , la fonction atteint toutes les valeurs réelles de $y$ .

$\left\|\mathbf{b}\right\|>\mathbf{1}$ : ÉTIREMENT DANS LA DIRECTION $y$	$\left\|\mathbf{b}\right\|<\mathbf{1}$ : ÉTIREMENT DANS LA DIRECTION $x$

$b$ NÉGATIF – SYMÉTRIE AUTOUR DE L’AXE DES $x$

$\mathbf{c}<\mathbf{0}$ : DANS LA DIRECTION X NÉGATIVE	$\mathbf{c}>\mathbf{0}$ : DANS LA DIRECTION X POSITIVE

$\mathbf{d}<\mathbf{0}$ : DANS LA DIRECTION Y NÉGATIVE	$\mathbf{d}>\mathbf{0}$ : DANS LA DIRECTION Y POSITIVE