Fonction logarithmique : propriétés et déplacements

Définition

Dans une fonction logarithmique, la variable apparaît comme argument d’un logarithme.

$$f\left(x\right)={log}_a{\left(x\right)}$$​​

La base  est un nombre constant supérieur à zéro : $$a\in\mathbb{R}^+$$​.

La fonction logarithme est la fonction inverse $$f^{-1}$$​ de la fonction exponentielle $$f$$​ :

$$f \rightarrow f^{-1}\\a^x \rightarrow {log}_a{\left(x\right)}$$​​

Fonctions de base

Les fonctions logarithmiques de la forme $${log}_a{\left(x\right)}$$​ peuvent être appelées fonctions de base des fonctions logarithmiques.

Domaine de définition $$\mathbb{D}$$​​

Pour toutes les bases $$a$$​, la fonction est seulement définie pour les valeurs de $$x$$​ supérieures à zéro :

$$\mathbb{D}\ =\ \mathbb{R}_{>0}$$​​

Image de la fonction

Pour toutes les bases $$a$$​, la fonction atteint toutes les valeurs réelles de $$y$$​.

Propriétés

Chaque fonction de base…

• passe par les points $$(1;0)$$​, $$(a;1)$$​ et $$(\frac{1}{a};-1)$$​.
  
• avec $$a>1$$​ est strictement croissante.
  
• avec $$0<a<1$$​ est strictement décroissante.
  
• a une asymptote verticale en $$x=0$$​

​

Graphe

​$$\mathbf{a}>\mathbf{1}$$​​	​$$\mathbf{0}<\mathbf{a}<\mathbf{1}$$​​
Tableau de valeurs pour $$f(x)=\ {log}_2{\left(x\right)}$$​ :	Tableau de valeurs pour $$f(x)=\ {log}_{0.5}{\left(x\right)}$$​ :

Fonctions logarithmiques générales

Les fonctions logarithmiques générales sont une forme modifiée des fonctions de base.

Formule

$$f\left(x\right)=b\cdot{log}_a{(x-c)+d}$$​​

​

Domaine de définition $$\mathbb{D}$$​

Pour toutes les bases $$a$$​, le domaine de définition se décale de $$c$$​ ($$x>c$$​) :

$$\mathbb{D}=\mathbb{R}>c$$​​

Image de la fonction

Pour toutes les bases $$a$$​, la fonction atteint toutes les valeurs réelles de $$y$$​.

Facteur

$$\left|\mathbf{b}\right|>\mathbf{1}$$​ : ÉTIREMENT DANS LA DIRECTION $$y$$​	$$\left|\mathbf{b}\right|<\mathbf{1}$$​ : ÉTIREMENT DANS LA DIRECTION $$x$$​

$$b$$​ NÉGATIF – SYMÉTRIE AUTOUR DE L’AXE DES $$x$$​

Déplacement dans la direction des axes des x et y

$$\mathbf{c}<\mathbf{0}$$​ : DANS LA DIRECTION X NÉGATIVE	$$\mathbf{c}>\mathbf{0}$$​ : DANS LA DIRECTION X POSITIVE

$$\mathbf{d}<\mathbf{0}$$​ : DANS LA DIRECTION Y NÉGATIVE	$$\mathbf{d}>\mathbf{0}$$​ : DANS LA DIRECTION Y POSITIVE