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Fonctions polynomiales

Fonction puissance avec exposant négatif

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Cercles et sphères

Équations de cercles et sphères

Positions relatives entre un cercle et une droite

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Produit vectoriel - Calcul en composantes et applications

Equation de droite en 2D et en 3D

Introduction

Vecteurs - Propriétés et rapports

Vecteurs - Règles et opérations de base

Système de coordonnées

Produit scalaire - Formule angulaire et norme euclidienne

Étude de fonction

Domaine de définition d'une fonction

Zéros dans la fonction et ordonnée à l'origine

Statistiques

Paramètres statistiques

Séries

Les séries et leurs limites

Suites

Les différents types de suites

Monotonie, les bornes et les limites d'une suite

Système de coordonnées

Opérations sur les coordonnées

Triangles

Angle au centre et angle inscrit

Théorème de Pythagore : formule et représentation

Théorèmes d'Euclide (Théorèmes des cathètes et de la hauteur)

Similitude

Figures semblables : propriétés

Triangles semblables

Transformations géométriques

Sinus et Cosinus : relations et arcs

Tangente : relations trigonométriques, valeurs et arc

Relations trigonométriques

Cercle trigonométrique

Loi des sinus et des cosinus

Propriétés des fonctions

Inversion de fonctions affines

Fonction inverse : propriétés

Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques : cosinus, sinus et tangente

Fonctions logarithmiques

Fonction logarithmique : propriétés et déplacements

Fonctions racines

Fonction racine : propriétés et déplacements

Fonction exponentielle : propriétés et déplacements

Processus de croissance ou de décroissance

Fonctions polynomiales

Fonction puissance avec exposant naturel

Fonction puissance avec exposant négatif

Fonctions rationnelles

Fonctions quadratiques

Facteur de croissance et formule polynomiale

Fonctions quadratiques : optimisation

Fonctions quadratiques : problèmes

Intersection de deux fonctions quadratiques

Fonctions linéaires et quadratiques

Fonctions linéaires : équations et graphes

Intersection de deux fonctions affines

Optimisation linéaire

Fonctions

Fonctions : dépendance, domaine de définitions et graphes

Fonctions : logarithmiques, exponentielles et puissances

Systèmes d'équations

Systèmes d'équations à deux inconnues

Problèmes à deux inconnues

Systèmes d'équations à trois inconnues

Pour approfondir les équations

Équations exponentielles

Équations logarithmiques

Inéquations

Inéquations avec fractions

Inéquations du premier degré

Inéquations linéaires

Inéquations quadratiques

Systèmes d'inéquations

Équations quadratiques

Équations quadratiques : factorisation

Équations quadratiques : formes, notions et méthodes

Complétion du carré

Formule pour la forme normale (p,q)

Formule pour la forme générale (a,b,c)

Équations avec fractions

Équations avec fractions - sans variables au dénominateur

Équations linéaires

Équations paramétriques

Équations : définitions, transformation et résolution

Équations à plusieurs variables

Expressions générales

Simplifier des expressions avec fractions

Simplifier des expressions rationnelles

Expressions rationnelles cas particuliers

Expressions avec puissances

Simplifier des expressions avec racines

Expressions avec des logarithmes

Factorisation

Approche à deux termes

Factorisation : mise en évidence et approche à deux termes

Division polynomiale : calcul et factorisation

Multiplication de deux parenthèses : cas particuliers

Notions de base

Identités remarquables 2e et 3e degré

Logarithmes

Lois des logarithmes

Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Fonctions puissances avec exposants négatifs

Définition

Une fonction puissance avec des exposants entiers négatifs a la forme suivante :

$f\left(x\right)={ax}^{-n}=\frac{a}{x^n}$

$a\in\mathbb{R}$ : coefficient réel, $a\neq0$
$n\in\mathbb{N}$
$f\left(0\right)$ n’est pas défini.

Ordre d’une fonction puissance

L’ordre est donné par l’exposant $n$ de la fonction puissance.

Exemple : $f\left(x\right)=\frac{1}{2x^4}=\frac{1}{2}x^{-4}$  a l’ordre 4.

Fonctions de base

Les fonctions puissances de la forme $x^{-1},x^{-2},x^{-3},\ldots$ sont appelées fonctions de base avec exposants négatifs. Elles consistent en un seul terme dont le coefficient est $1$ .

f\left(x\right)=x^{-1}=\frac{1}{x}

f\left(x\right)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}

f\left(x\right)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}

Asymptote

Une asymptote est une droite dont une fonction s’approche sans l’atteindre en allant vers l’infini (ou moins l’infini). Les fonctions de base avec exposants négatifs ont une asymptote verticale en $x=0$ et une asymptote horizontale en $y=0$ .

Exemple – Les asymptotes (en noir) de la fonction $f\left(x\right)=x^{-2}$ 

Domaine de définition

Une fonction de base $f$ avec exposants négatifs est définie pour tous les nombres réels sauf $0$ . Son domaine de définition $D_f$ peut donc être $\mathbb{R}\{0\}$ ou n’importe lequel de ses sous-ensembles

Image des fonctions de base

ORDRE IMPAIR

Tous les nombres réels sont atteints sauf $0$ :

$Im(f)=\mathbb{R}\{0\}$

ORDRE PAIR

Les valeurs de sont toujours positives et non nulles :

$Im(f)=\mathbb{R}_\ ^+$

Représentation

Exposant pair $x^{-2},\ x^{-4},x^{-6},\ldots$	Exposant impair $x^{-1},\ x^{-3},x^{-5},\ldots$

Symétrique par rapport à l’axe des $y$ : $f\left(-x\right)=f(x)$	Symétrique par rapport à l’origine : $f\left(-x\right)=-f(x)$
Exemple : $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{-\mathbf{2}}$	Exemple : $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{-\mathbf{3}}$

Lire plus

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1

Fonction puissance avec exposant négatif

Test final

Créer un compte pour commencer les exercices

Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelles sont les asymptotes du graphe de 1/x ?

Les asymptotes de 1/x sont les axes x et y.

Comment transformer une puissance négative en fraction ?

C'est très facile, par exemple x^(-1) = 1/x ou bien x^(-2) = 1/x^2, chaque puissance négative peut s'écrire sous forme de puissance positif au dénominateur d'une fraction.

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Définition

Une fonction puissance avec des exposants entiers négatifs a la forme suivante :

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$n\in\mathbb{N}$
$f\left(0\right)$ n’est pas défini.

Ordre d’une fonction puissance

L’ordre est donné par l’exposant $n$ de la fonction puissance.

Exemple : $f\left(x\right)=\frac{1}{2x^4}=\frac{1}{2}x^{-4}$  a l’ordre 4.

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Asymptote

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ORDRE IMPAIR

Tous les nombres réels sont atteints sauf $0$ :

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Représentation

Exposant pair $x^{-2},\ x^{-4},x^{-6},\ldots$	Exposant impair $x^{-1},\ x^{-3},x^{-5},\ldots$

Symétrique par rapport à l’axe des $y$ : $f\left(-x\right)=f(x)$	Symétrique par rapport à l’origine : $f\left(-x\right)=-f(x)$
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Les asymptotes de 1/x sont les axes x et y.

Comment transformer une puissance négative en fraction ?

C'est très facile, par exemple x^(-1) = 1/x ou bien x^(-2) = 1/x^2, chaque puissance négative peut s'écrire sous forme de puissance positif au dénominateur d'une fraction.

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Asymptote

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Exemple : f(x)=x−2\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{-\mathbf{2}}f(x)=x−2​

Exemple : f(x)=x−3\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{-\mathbf{3}}f(x)=x−3​

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Exemple : $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{-\mathbf{2}}$

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