Fonctions puissances avec exposants négatifs

Définition

Une fonction puissance avec des exposants entiers négatifs a la forme suivante :

$f\left(x\right)={ax}^{-n}=\frac{a}{x^n}$

$a\in\mathbb{R}$ : coefficient réel, $a\neq0$
$n\in\mathbb{N}$
$f\left(0\right)$ n’est pas défini.

Ordre d’une fonction puissance

L’ordre est donné par l’exposant $n$ de la fonction puissance.

Exemple : $f\left(x\right)=\frac{1}{2x^4}=\frac{1}{2}x^{-4}$  a l’ordre 4.

Fonctions de base

Les fonctions puissances de la forme $x^{-1},x^{-2},x^{-3},\ldots$ sont appelées fonctions de base avec exposants négatifs. Elles consistent en un seul terme dont le coefficient est $1$ .

f\left(x\right)=x^{-1}=\frac{1}{x}

f\left(x\right)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}

f\left(x\right)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}

Asymptote

Une asymptote est une droite dont une fonction s’approche sans l’atteindre en allant vers l’infini (ou moins l’infini). Les fonctions de base avec exposants négatifs ont une asymptote verticale en $x=0$ et une asymptote horizontale en $y=0$ .

Exemple – Les asymptotes (en noir) de la fonction $f\left(x\right)=x^{-2}$ 

Domaine de définition

Une fonction de base $f$ avec exposants négatifs est définie pour tous les nombres réels sauf $0$ . Son domaine de définition $D_f$ peut donc être $\mathbb{R}\{0\}$ ou n’importe lequel de ses sous-ensembles

Image des fonctions de base

ORDRE IMPAIR

Tous les nombres réels sont atteints sauf $0$ :

$Im(f)=\mathbb{R}\{0\}$

ORDRE PAIR

Les valeurs de sont toujours positives et non nulles :

$Im(f)=\mathbb{R}_\ ^+$

Représentation

Exposant pair $x^{-2},\ x^{-4},x^{-6},\ldots$	Exposant impair $x^{-1},\ x^{-3},x^{-5},\ldots$

Symétrique par rapport à l’axe des $y$ : $f\left(-x\right)=f(x)$	Symétrique par rapport à l’origine : $f\left(-x\right)=-f(x)$
Exemple : $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{-\mathbf{2}}$	Exemple : $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{-\mathbf{3}}$