Fonctions puissances avec exposants naturels

Définition

Une fonction puissance avec un exposant naturel (entier positif) est une fonction de la forme $$ax^n$$​.

• $$a\in\mathbb{R}$$​ : coefficient réel
  
• Les exposants sont des nombres naturels : $$0,1,2,3,\ldots.$$​
  

Remarque : Nous ne considérons ici que des puissances avec des exposants naturels. 

Fonctions de base

Les fonctions de la forme $$x,x^2,x^3,x^4,x^5,\ldots$$​ sont appelées fonctions de base. 

Elles consistent en un seul terme dont le coefficient est $$1$$​.

Domaine de définition

Une fonction puissance $$f$$​ avec exposant naturel est définie pour tous les nombres réels. Son domaine de définition $$D_f$$​ peut donc être l’ensemble $$\mathbb{R}$$​ ou n’importe lequel de ses sous-ensembles.

Image de la fonction

Remarque : Si on décale la fonction de base verticalement (Exemple : $$f\left(x\right)=x^2+4$$​) alors l’image de la fonction change conformément au déplacement ($$Im(f)=\mathbb{R}_{\geq4}$$​).

Représentation

Exposant 1 $$x$$​​	Exposant pair $$x^2,\ x^4,x^6,\ldots$$​​	Exposant impair $$x^3,\ x^5,x^7,\ldots$$​​
Symétrique par rapport à l’origine : $$f\left(-x\right)=-f(x)$$​​	Symétrique par rapport à l’axe des $$y$$​ : $$f\left(-x\right)=f(x)$$​​	Symétrique par rapport à l’origine : $$f\left(-x\right)=-f(x)$$​​
Tableau de valeurs pour $$f\left(x\right)=x∶$$​	Tableau de valeurs pour $$f\left(x\right)=x^2∶$$​ ​​	Tableau de valeurs pour $$f\left(x\right)=x^3∶$$​ ​​

Remarque : Les graphes des fonctions de base avec des exposants naturels pairs sont appelés « paraboles ».