Fonctions puissances avec exposants naturels

Définition

Une fonction puissance avec un exposant naturel (entier positif) est une fonction de la forme $ax^n$ .

$a\in\mathbb{R}$ : coefficient réel
Les exposants sont des nombres naturels : $0,1,2,3,\ldots.$

Remarque : Nous ne considérons ici que des puissances avec des exposants naturels.

Fonctions de base

Les fonctions de la forme $x,x^2,x^3,x^4,x^5,\ldots$ sont appelées fonctions de base.

Elles consistent en un seul terme dont le coefficient est $1$ .

f\left(x\right)=x

f\left(x\right)=x^2

f\left(x\right)=x^3

f\left(x\right)=x^4

f\left(x\right)=x^5

\dots

Domaine de définition

Une fonction puissance $f$ avec exposant naturel est définie pour tous les nombres réels. Son domaine de définition $D_f$ peut donc être l’ensemble $\mathbb{R}$ ou n’importe lequel de ses sous-ensembles.

Image de la fonction

DEGRÉ IMPAIR(TOUS LES FONCTIONS)

Les valeurs $y$ peuvent être n’importe quel nombre réel :

$Im(f)=\mathbb{R}$

DEGRÉ PAIR(FONCTIONS DE BASE)

Les valeurs $y$ sont positives :

$Im(f)=\mathbb{R}_0^+$

Remarque : Si on décale la fonction de base verticalement (Exemple : $f\left(x\right)=x^2+4$ ) alors l’image de la fonction change conformément au déplacement ( $Im(f)=\mathbb{R}_{\geq4}$ ).

Représentation

Exposant 1 $x$	Exposant pair $x^2,\ x^4,x^6,\ldots$	Exposant impair $x^3,\ x^5,x^7,\ldots$

Symétrique par rapport à l’origine : $f\left(-x\right)=-f(x)$	Symétrique par rapport à l’axe des $y$ : $f\left(-x\right)=f(x)$	Symétrique par rapport à l’origine : $f\left(-x\right)=-f(x)$
Tableau de valeurs pour $f\left(x\right)=x∶$	Tableau de valeurs pour $f\left(x\right)=x^2∶$	Tableau de valeurs pour $f\left(x\right)=x^3∶$

Remarque : Les graphes des fonctions de base avec des exposants naturels pairs sont appelés « paraboles ».