Fonctions : dépendance, domaine de définitions et graphes

Dépendance

Définition

Il y a une dépendance entre deux ensembles de valeurs lorsque les valeurs d’un des ensembles changent par rapport aux valeurs de l’autre. On parle aussi d’une attribution : Une ou plusieurs valeurs sont attribuées à chaque valeur $x$ du premier ensemble.

Représentation

Les dépendances peuvent être représentées dans un tableau ou un graphique.

TABLEAU

Le tableau montre le rapport entre l’année et le nombre de nouveau-nés en Suisse qui s’appellent Laura ou David. Le nombre de nouveau-nés « dépend » de l’année :

ANNÉE	2015	2016	2017	2018
Laura	288	291	271	277
David	335	302	314	265

GRAPHIQUE

Le graphique montre le rapport entre l’année et le nombre de nouveau-nés en Suisse qui s’appellent Laura ou David.

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Fonctions

Définitions

Une fonction est une attribution ou une règle qui attribue à chaque valeur $x$ du premier ensemble exactement une valeur $y$ du second. Les fonctions peuvent souvent être décrites par des expressions algébriques. On distingue la définition de la fonction et l’équation de la fonction.

Définition de la fonction	Équation de la fonction
$x\longmapsto x^2+1-2x$	$f\left(x\right)=x^2+1-2x$ ou $y=x^2+1-2x$

$x$ prend la valeur de la variable.
$f(x)$ ou $y$ prennent la valeur de l’expression soit de la fonction, dépendante de la variable $x$ .

On appelle $f\left(x\right)$ l’image de la valeur $x$ , et inversement on appelle $x$ une préimage de $y=f(x)$ .

DOMAINE DE DÉFINITION

Le domaine de définition $\ \mathbb{D}$ d’une fonction est constitué de toutes les valeurs pour lesquelles la valeur de la fonction est définie. Le domaine sera par exemple souvent $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ . Le domaine de définition est l’ensemble des préimages de la fonction.

ENSEMBLE D’ARRIVÉE

L’ensemble d’arrivée est un ensemble qui contient toutes les images de la fonction. Il est possible que certains éléments de l’ensemble d’arrivée d’aient pas de préimage.

Exemple

Fonction

Fonction

Domaine de définition

y=x^2

$\mathbb{D}=\mathbb{R}$

On peut calculer $y$ pour toutes les valeurs de $x$ .

y=\frac{1}{x-2}

$\mathbf{D}=\mathbf{R}/\left\{2\right\}$

Pour $x=2,$ la valeur de la fonction n’est pas définie. (Le dénominateur ne peut pas être zéro.)

GRAPHE D’UNE FONCTION

Pour chaque valeur de $x$ dans le domaine de définition, la paire de valeurs $(x;f(x))$ est marquée dans le système de coordonnées. Tous les points marqués forment le « graphe » de la fonction.

$y=x^2-1$

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Remarque : Lorsqu’on détermine le graphe de la fonction, on calcule suffisamment de paires de valeurs et on complète le graphe en traçant une ligne continue.

POINT SUR LE GRAPHE

Si les coordonnées d’un point $P(x;y)$ satisfont l’équation de la fonction, alors ce point se trouve sur le graphe de la fonction.

Exemple : Le point  $\ P(1;0)$  se trouve sur le graphe de la fonction $y=x^2+1-2x\$ :

$1^2+1-2\cdot1=0$ 