Systèmes d’inéquations

Définition

Un système d’inéquations est formé de plusieurs inéquations.

Le but est de déterminer un ensemble de points dans un système de coordonnées qui satisfont toutes les inéquations. Les variables $x,y$ du système d’inéquations sont les coordonnées des points.

Exemple

$\left\{\ \begin{matrix}y\geq1\\y+x\geq-4\\x+2y<0\\\end{matrix}\right.$

Résoudre un système d’inéquations

Dessiner l’ensemble des solutions d’un système d’inéquations

Pour résoudre le système d’inéquations on a besoin d’un système de coordonnées.

MÉTHODE

1.	Isole d’un côté dans toutes les inéquations. Attention : Si on multiplie/divise par un nombre négatif, on doit inverser le signe de relation.
2.	Représente les inéquations dans le système de coordonnée : Les équations correspondantes définissent des fonctions linéaires. Inéquations avec $\geq$ ou $\le\ \rightarrow$ ligne continue Inéquations avec $>$ ou $< \rightarrow$ ligne pointillée
3.	Marque les ensembles de solution individuels. Pour les équations avec : $y\geq$ et $y>$ : marque la zone au-dessus de la ligne. $y\le$ et $y<$ : marque la zone en dessous de la ligne.
4.	Marque clairement la zone donnée par l’intersection de tous les ensembles de solutions.

Exemple

$\left\{\ \begin{matrix}y-4<-x\\2\geq0.5x-y\\-1\le2x-y\\\end{matrix}\right.$

Transforme les inéquations :

$\left\{\ \begin{matrix}y<-x+4\\y\geq0.5x-2\\y\le2x+1\\\end{matrix}\right.$

Ensembles de solution individuels :

y<-x+4

Ligne pointillée car « $<\$ »

Zone en dessous $\downarrow$ car « $<\$ »

y\geq0.5x-2

Ligne continue car « $\geq$ »

Zone au-dessus $\uparrow$ car « $\geq$ »

y\le2x+1

Ligne continue car « $\le$ »

Zone en dessous $\downarrow$ car « $\le$ »

Intersection des ensembles de solution individuels (zone grise) :

Mathématiques; Inéquations; 2e Collège; Systèmes d'inéquations

Méthode pour les exercices types

Résoudre un problème à l’aide d’un système d’inéquations

Certains problèmes doivent être résolus à l’aide d’un système d’inéquations. Il y a généralement deux variables. On doit marquer la zone autorisée dans un système de coordonnées.

Parfois, on doit également trouver un point optimal dans cette zone.

MÉTHODE

1.	Note les grandeurs inconnues. Attribue aux deux coordonnées $x,y$ deux grandeurs inconnues.
2.	Lis chaque phrase attentivement et représente chaque relation entre les variables $x,y$ sous forme d’inéquation. Conseils : Forme une équation à partir des rapports décrits. Choisis ensuite le signe de relation approprié. Exemple – Un maximum de 50 chaises blanches ( $x$ ) et noires ( $y$ ) doivent être produites. Équation : $x+y=50$ Inéquation correspondant au « maximum » : $x+y\le50$
3.	Dessine la zone de solution dans un système de coordonnées.
4.	Si une grandeur doit être optimisée : Vérifie quel point angulaire de la zone de solution optimise cette grandeur.