Équations exponentielles

Le plus important en quelques mots

Une équation exponentielle contient une puissance où l’inconnue fait partie de l’exposant. Pour pouvoir isoler l’inconnue $$x$$​ il faut utiliser le logarithme.

Conseil : Révise les règles de calcul des logarithmes.

Exemple

$$3^{x+1}={3\cdot5}^2$$​​

Résoudre une équation exponentielle

MÉTHODE

Exemple

$$2^x+2^{x+1}=24$$​​

Forme des puissances égales. Ici $$2^x$$​ :

$$2^x+2\cdot2^x=24$$​​

Simplifie l’équation et isole la puissance :

$$3\cdot2^x=24\\2^x=8$$​​

Prends le logarithme :

$${log}_{10}{\left(2^x\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}\\x\cdot{log}_{10}{\left(2\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}$$​​

Résous en $$x$$​ :

​$$x=\frac{{log}_{10}{\left(8\right)}}{{log}_{10}{\left(2\right)}}\\x=3$$​​

Remarque : S’il n’y a qu’une seule base, on peut directement comparer les exposants :

$$2^x=8\\2^x=2^3\\x=3$$​​