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Résumés

Équations exponentielles

Le plus important en quelques mots

Une équation exponentielle contient une puissance où l’inconnue fait partie de l’exposant. Pour pouvoir isoler l’inconnue $x$ il faut utiliser le logarithme.

Conseil : Révise les règles de calcul des logarithmes.

Exemple

$3^{x+1}={3\cdot5}^2$

Résoudre une équation exponentielle

MÉTHODE

1.	Effectue toutes les additions et soustractions de puissances avec $x$ dans l’exposant. Conseil : Forme des puissances égales pour additionner : $5^x+5^{x+1}=5^x+5^1\cdot5^x=6\cdot5^x$
2.	Isole la puissance restante d’un côté.
2.	Prends le logarithme (ici $\log_5{\left(\ldots\right)}$ ) des deux côtés de l’équation. Choisis la base : Le logarithme doit avoir la même base que la puissance.
3.	Place le $x$ devant le log grâce à la loi « puissance $\rightarrow$ multiplication » du logarithme.
4.	Résous en $x$ .

Exemple

$2^x+2^{x+1}=24$

Forme des puissances égales. Ici $2^x$ :

$2^x+2\cdot2^x=24$ 

Simplifie l’équation et isole la puissance :

$3\cdot2^x=24\\2^x=8$ 

Prends le logarithme :

${log}_{10}{\left(2^x\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}\\x\cdot{log}_{10}{\left(2\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}$ 

Résous en $x$ :

$x=\frac{{log}_{10}{\left(8\right)}}{{log}_{10}{\left(2\right)}}\\x=3$

Remarque : S’il n’y a qu’une seule base, on peut directement comparer les exposants :

$2^x=8\\2^x=2^3\\x=3$ 

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Durée:

Unité 1