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Équations exponentielles

Le plus important en quelques mots

Une équation exponentielle contient une puissance où l’inconnue fait partie de l’exposant. Pour pouvoir isoler l’inconnue xx​ il faut utiliser le logarithme.


Conseil : Révise les règles de calcul des logarithmes.


Exemple

3x+1=3⋅523^{x+1}={3\cdot5}^2​​



Résoudre une équation exponentielle

MÉTHODE

1.

Effectue toutes les additions et soustractions de puissances avec xx​ dans l’exposant.

Conseil : Forme des puissances égales pour additionner :

​5x+5x+1=5x+51⋅5x=6⋅5x5^x+5^{x+1}=5^x+5^1\cdot5^x=6\cdot5^x​​

2.

Isole la puissance restante d’un côté.

2.

Prends le logarithme (ici log⁡5(…)\log_5{\left(\ldots\right)}​) des deux côtés de l’équation.

Choisis la base : Le logarithme doit avoir la même base que la puissance. 

3.

Place le xx​ devant le log grâce à la loi « puissance →\rightarrow​ multiplication » du logarithme.

4.

Résous en xx​.


Exemple

2x+2x+1=242^x+2^{x+1}=24​​


Forme des puissances égales. Ici 2x2^x​ :

2x+2⋅2x=242^x+2\cdot2^x=24​​


Simplifie l’équation et isole la puissance :

3⋅2x=242x=83\cdot2^x=24\\2^x=8​​


Prends le logarithme :

log10(2x)=log10(8)x⋅log10(2)=log10(8){log}_{10}{\left(2^x\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}\\x\cdot{log}_{10}{\left(2\right)}={log}_{10}{\left(8\right)}​​


Résous en xx​ :

​x=log10(8)log10(2)x=3x=\frac{{log}_{10}{\left(8\right)}}{{log}_{10}{\left(2\right)}}\\x=3​​


Remarque : S’il n’y a qu’une seule base, on peut directement comparer les exposants :

2x=82x=23x=32^x=8\\2^x=2^3\\x=3​​





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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment résoudre une équation avec x en exposant ?

C'est quoi une équation exponentielle ?

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