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Vidéo Explicative

Enseignant: Laurena

Résumés

Expressions avec puissances

Lois des puissances - rappel

Pour la simplification, il est important de bien connaître toutes les lois des puissances.

MULTIPLICATION

Condition : même base
​am⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}am⋅an=am+n​​

Additionne les exposant.
​34⋅32=34+2=363^4\cdot3^2=3^{4+2}=3^634⋅32=34+2=36​​

DIVISION

Condition : même base
​aman=am−n\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}anam​=am−n​​

Soustrais les exposants.
​3432=34−2=32\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^23234​=34−2=32​​

DOUBLE EXPOSANT
​(am)n=am ⋅ n\left(a^m\right)^n=a^{m\ \cdot\ n}(am)n=am ⋅ n​​

Multiplie les exposants.
​(62)3=62⋅3=66\left(6^2\right)^3=6^{2\cdot3}=6^6(62)3=62⋅3=66​​

MULTIPLICATION/DIVISION DANS LA PARENTHÈSE
​(ab)m=am⋅bm\left(ab\right)^m=a^m\cdot b^m(ab)m=am⋅bm​​

Distribue l’exposant et copie les bases.
​(3⋅5)2=32⋅52(35)2=3252\left(3\cdot5\right)^2=3^2\cdot5^2\\\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{3^2}{5^2}(3⋅5)2=32⋅52(53​)2=5232​​​

EXPOSANTS NÉGATIFS
​a−m=1ama^{-m}=\frac{1}{a^m}a−m=am1​​​

Échange le numérateur et le dénominateur et prends l’exposant opposé.
​2−3=123=182^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}2−3=231​=81​​​

RACINE (EXPOSANT RATIONNEL)
​amn=amn\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}nam​=anm​​​

La racine peut être écrite grâce à une fraction dans l’exposant.
​325=325\sqrt[5]{3^2}=3^\frac{2}{5}532​=352​​​



Méthode pour les exercices types

Simplifier les expressions avec puissances

MÉTHODE

1.

Exprimer toutes les racines grâce à des exposants.

2.

Supprimer toutes les parenthèses (de l'extérieur vers l'intérieur) :  (ab)m=am⋅bm\ \left(ab\right)^m=a^m\cdot b^m (ab)m=am⋅bm​ et (ab)m=ambm\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}(ba​)m=bmam​​.

3.

Réduire les nombres et variables.

4.

Rassembler les mêmes variables :

  • Multiplication/division :

​am⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}am⋅an=am+n​​

​aman=am−n\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}anam​=am−n​​

  • Addition/soustraction :

Additionner/soustraire n’est possible qu’avec la même base et le même exposant.


Exemple

4⋅a−3(2a−32⋅a3)3\frac{4\cdot\sqrt{a^{-3}}}{\left(2a^{-\frac{3}{2}}\cdot\sqrt{a^3}\right)^3}(2a−23​⋅a3​)34⋅a−3​​​​


Exprime toutes les racines grâce à des exposants :

=4a−32(2a−32⋅a32)3=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{\left(2a^{-\frac{3}{2}}\cdot a^\frac{3}{2}\right)^3}=(2a−23​⋅a23​)34a−23​​​​


Supprime les parenthèses :

=4a−322a−32⋅3⋅a32⋅3=4a−322a−92⋅a92=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{2a^{-\frac{3}{2}\cdot3}\cdot a^{\frac{3}{2}\cdot3}}=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{2a^{-\frac{9}{2}}\cdot a^\frac{9}{2}}=2a−23​⋅3⋅a23​⋅34a−23​​=2a−29​⋅a29​4a−23​​​​


Rassemble les puissances de aaa​:

=2a−32−(−92)−921=\frac{2a^{-\frac{3}{2}-\left(-\frac{9}{2}\right)-\frac{9}{2}}}{1}=12a−23​−(−29​)−29​​​​


Simplifie l’exposant :

=2a−32=2a^{-\frac{3}{2}}=2a−23​​​


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Apprenez avec les Bases

Apprenez les bases avec des unités théoriques et mettez en pratique ce que vous avez appris à l'aide d'ensembles d'exercices !
Durée:
Expressions avec puissances

Unité 1

Expressions avec puissances

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment calculer des puissances sous une racine ?

La racine peut être écrite grâce à une fraction dans l'exposant.

Comment calculer des puissances avec des exposants négatifs ?

Echange le numérateur et le dénominateur et prends l'exposant opposé.

Comment calculer des puissances avec des parenthèses ?

Distribue l'exposant et copie les bases.

Comment puis-je calculer des puissances avec des doubles exposants ?

Multiplie les exposants.

Comment diviser des puissances ?

Avec la même base, on peut simplement soustraire les exposants.

Comment multiplier des puissances ?

Si les bases sont identiques, il suffit d'additionner les exposants.

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