Expressions avec puissances

Lois des puissances - rappel

Pour la simplification, il est important de bien connaître toutes les lois des puissances.

MULTIPLICATION Condition : même base	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	Additionne les exposant.	$3^4\cdot3^2=3^{4+2}=3^6$
DIVISION Condition : même base	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	Soustrais les exposants.	$\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2$
DOUBLE EXPOSANT	$\left(a^m\right)^n=a^{m\ \cdot\ n}$	Multiplie les exposants.	$\left(6^2\right)^3=6^{2\cdot3}=6^6$
MULTIPLICATION/DIVISION DANS LA PARENTHÈSE	$\left(ab\right)^m=a^m\cdot b^m$	Distribue l’exposant et copie les bases.	$\left(3\cdot5\right)^2=3^2\cdot5^2\\\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{3^2}{5^2}$
EXPOSANTS NÉGATIFS	$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$	Échange le numérateur et le dénominateur et prends l’exposant opposé.	$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
RACINE (EXPOSANT RATIONNEL)	$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$	La racine peut être écrite grâce à une fraction dans l’exposant.	$\sqrt[5]{3^2}=3^\frac{2}{5}$

Méthode pour les exercices types

Simplifier les expressions avec puissances

MÉTHODE

1.

Exprimer toutes les racines grâce à des exposants.

2.

Supprimer toutes les parenthèses (de l'extérieur vers l'intérieur) : $\ \left(ab\right)^m=a^m\cdot b^m$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$ .

3.

Réduire les nombres et variables.

4.

Rassembler les mêmes variables :

Multiplication/division :

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Addition/soustraction :

Additionner/soustraire n’est possible qu’avec la même base et le même exposant.

Exemple

$\frac{4\cdot\sqrt{a^{-3}}}{\left(2a^{-\frac{3}{2}}\cdot\sqrt{a^3}\right)^3}$

Exprime toutes les racines grâce à des exposants :

$=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{\left(2a^{-\frac{3}{2}}\cdot a^\frac{3}{2}\right)^3}$ 

Supprime les parenthèses :

$=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{2a^{-\frac{3}{2}\cdot3}\cdot a^{\frac{3}{2}\cdot3}}=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{2a^{-\frac{9}{2}}\cdot a^\frac{9}{2}}$ 

Rassemble les puissances de $a$ :

$=\frac{2a^{-\frac{3}{2}-\left(-\frac{9}{2}\right)-\frac{9}{2}}}{1}$ 

Simplifie l’exposant :

$=2a^{-\frac{3}{2}}$ 