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Expressions avec puissances

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Enseignant: Laurena

Résumés

Expressions avec puissances

Lois des puissances - rappel

Pour la simplification, il est important de bien connaître toutes les lois des puissances.

MULTIPLICATION

Condition : même base

aman=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}​​

Additionne les exposant.

3432=34+2=363^4\cdot3^2=3^{4+2}=3^6​​

DIVISION

Condition : même base

aman=amn\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}​​

Soustrais les exposants.

3432=342=32\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2​​

DOUBLE EXPOSANT

(am)n=am  n\left(a^m\right)^n=a^{m\ \cdot\ n}​​

Multiplie les exposants.

(62)3=623=66\left(6^2\right)^3=6^{2\cdot3}=6^6​​

MULTIPLICATION/DIVISION DANS LA PARENTHÈSE

(ab)m=ambm\left(ab\right)^m=a^m\cdot b^m​​

Distribue l’exposant et copie les bases.

(35)2=3252(35)2=3252\left(3\cdot5\right)^2=3^2\cdot5^2\\\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{3^2}{5^2}​​

EXPOSANTS NÉGATIFS

am=1ama^{-m}=\frac{1}{a^m}​​

Échange le numérateur et le dénominateur et prends l’exposant opposé.

23=123=182^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}​​

RACINE (EXPOSANT RATIONNEL)

amn=amn\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}​​

La racine peut être écrite grâce à une fraction dans l’exposant.

325=325\sqrt[5]{3^2}=3^\frac{2}{5}​​



Méthode pour les exercices types

Simplifier les expressions avec puissances

MÉTHODE

1.

Exprimer toutes les racines grâce à des exposants.

2.

Supprimer toutes les parenthèses (de l'extérieur vers l'intérieur) :  (ab)m=ambm\ \left(ab\right)^m=a^m\cdot b^m et (ab)m=ambm\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}.

3.

Réduire les nombres et variables.

4.

Rassembler les mêmes variables :

  • Multiplication/division :

aman=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}​​

aman=amn\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}​​

  • Addition/soustraction :

Additionner/soustraire n’est possible qu’avec la même base et le même exposant.


Exemple

4a3(2a32a3)3\frac{4\cdot\sqrt{a^{-3}}}{\left(2a^{-\frac{3}{2}}\cdot\sqrt{a^3}\right)^3}​​


Exprime toutes les racines grâce à des exposants :

=4a32(2a32a32)3=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{\left(2a^{-\frac{3}{2}}\cdot a^\frac{3}{2}\right)^3}​​


Supprime les parenthèses :

=4a322a323a323=4a322a92a92=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{2a^{-\frac{3}{2}\cdot3}\cdot a^{\frac{3}{2}\cdot3}}=\frac{4a^{-\frac{3}{2}}}{2a^{-\frac{9}{2}}\cdot a^\frac{9}{2}}​​


Rassemble les puissances de aa:

=2a32(92)921=\frac{2a^{-\frac{3}{2}-\left(-\frac{9}{2}\right)-\frac{9}{2}}}{1}​​


Simplifie l’exposant :

=2a32=2a^{-\frac{3}{2}}​​


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Exercices

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Comment calculer des puissances sous une racine ?

Comment calculer des puissances avec des exposants négatifs ?

Comment calculer des puissances avec des parenthèses ?

Comment puis-je calculer des puissances avec des doubles exposants ?

Comment diviser des puissances ?

Comment multiplier des puissances ?

Beta

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