Division polynomiale : calcul et factorisation

Définition

Polynôme

Un polynôme est une expression composée de plusieurs termes séparés par des signes plus ou moins. Les termes peuvent contenir des nombres (coefficients) et des variables.

$$3a^3+2a^2-3a-2$$​​

Division polynomiale

Dans une division polynomiale, on divise un polynôme par un autre polynôme. On te demandera le plus souvent de diviser par un binôme. Un binôme est un polynôme avec deux termes séparés par un signe plus ou moins.

$$\left(3a^3+2a^2-3a-2\right)∶\left(a-1\right)$$​​

Calcul – division sans reste

1.	Divise le premier terme du polynôme à gauche par le premier terme du diviseur. Note : Les termes des deux polynômes doivent être ordonnés de la puissance la plus élevée à la puissance la plus faible.	Calcul :$\frac{3a^3}{a}=3a^2$ ​​
2.	Multiplie le résultat par le diviseur et écris le nouveau résultat sur la deuxième ligne.	Calcul : $$3a^2\cdot(a-1)=3a^3-3a^2$$​
3.	Soustrais ce résultat au polynôme au-dessus et note la différence en dessous.	Calcul : $3a^3+2a^2-(3a^3-3a^2)=5a^2$​​
4.	Répète les étapes 1-3 avec le nouveau polynôme trouvé à l’étape 3 (différence). La division se termine quand tu obtiens le chiffre 0 comme différence (ligne du bas).	Répétition : Répétition :
5.	Le résultat de la division est à droite.	​$(3a^3+2a^2-3a-2):(a-1)=3a^2+5a+2$​​

Calcul – division avec reste

Il est possible qu’il y ait un reste à la fin de la division. Il reste donc une valeur qui ne peut pas être divisée par le polynôme (binôme).

Exemple

Le résultat de la division a le reste 6. On écrit le résultat : $$3a^2+5a+2\ \mathbf{Reste}\ \mathbf{6}$$​​ Ou : $$3a^2+5a+2+\frac{6}{a-1}$$​​

Remarque : La notation peut être différente selon les professeurs.

Factoriser en utilisant la division polynomiale

La division polynomiale est principalement utilisée pour factoriser des expressions où les identités remarquables ne sont pas applicables.

MÉTHODE

Exemple

$$x^3-2x^2-5x+6$$​​

Devine un zéro : $$x=1$$​

Binôme : $$\left(x-1\right)$$​

Division polynomiale : $$\left(x^3-2x^2-5x+6\right)∶\left(x-1\right)=x^2-x-6$$​

Première étape de factorisation : $$x^3-2x^2-5x+6=\left(x^2-x-6\right)\left(x-1\right)$$​

Tu peux ensuite poursuivre la factorisation avec les méthodes connues.