Systèmes de numération et conversions

Définition

Les systèmes de numération définissent les règles pour l’écriture des nombres. Un nombre est composé d’un ou de plusieurs chiffres. 

Dans la vie courante, on utilise le système décimal, le système en base dix. Les nombres sont représentés par dix chiffres différents : $$0,\ 1,\ ...,\ 9$$​.

Systèmes de numération typiques 

Chaque système de numération a une base $$b$$​ qui indique combien de chiffres (symboles) différents sont utilisés dans le système. Un nombre est composé de ces chiffres.

Exemple 1 : $${204}_{(8)}$$​ en octal

Base : $$b=16$$​

Valeurs des chiffres : $$a_0=4,a_1=C=12,a_2=1$$​

En système décimal : 

$$Z=4\cdot8^0+0\cdot8^1+2\cdot8^2={132}_{(10)}$$​​

Exemple 2 : $${1C4}_{(16)}$$​ en hexadécimal

Base : $$b=16$$​

Valeurs des chiffres : $$a_0=4,a_1=C=12,a_2=1$$​

En système décimal :

$$Z=4\cdot{16}^0+12\cdot{16}^1+1\cdot{16}^2={452}_{(10)}$$​​

Conversion du système décimal en un autre système de numération

Un nombre est donné en système décimal et doit être converti en un autre système de base .

MÉTHODE

Exemple 1 : $${935}_{(10)}$$​ en nombre hexadécimal

Nouvelle base : $$b=16$$​

Division avec reste :

Nombre hexadécimal :

$${935}_{(10)}={3A7}_{(16)}$$​​

Exemple 2 : $${67}_{(10)}$$​ en nombre binaire

Nouvelle base : $$b=2$$​

Division avec reste :

Nombre binaire :

$${67}_{(10)}={1000011}_{(2)}$$​​

Conversion générale

Pour convertir un nombre de n’importe quel système de numération en un autre on peut utiliser le système décimal comme étape intermédiaire. 

Exemple : $$104_{(5)}$$ en nombre binaire

Calcule $$104_{(5)}$$​  en décimal :

$$4\cdot5^0+0\cdot5^1+2\cdot5^2={29}_{(10)}$$​​

Calcule $$29_{(10)}$$​ en binaire :

Nombre binaire :

$${29}_{(10)}=\ {11101}_{(2)}$$​​