Systèmes de numération et conversions

Définition

Les systèmes de numération définissent les règles pour l’écriture des nombres. Un nombre est composé d’un ou de plusieurs chiffres.

Dans la vie courante, on utilise le système décimal, le système en base dix. Les nombres sont représentés par dix chiffres différents : $0,\ 1,\ ...,\ 9$ .

Systèmes de numération typiques

Chaque système de numération a une base $b$ qui indique combien de chiffres (symboles) différents sont utilisés dans le système. Un nombre est composé de ces chiffres.

	Base $b$	Chiffres	Exemples de nombres
SYSTÈME BINAIRE	$2$	$0,\ 1$	${100101}_{(2)}$
SYSTÈME DÉCIMAL	$10$	$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$	${95}_{(10)}$
SYSTÈME HEXADÉCIMAL	$16$	$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$	${2C8}_{(16)}$

Remarque 1 : Ici, l’indice d’un nombre indique le système de numération qui a été utilisé.

Remarque 2 : Pour les systèmes qui ont une base supérieure à 10, on utilise des lettres pour les chiffres après 9. Dans ce cas $A$ prend la valeur $10$ , $B$ la valeur $11$ etc.

Applications courantes

Système binaire	Informatique, électronique numérique
Système décimal	Arithmétique: calcul avec des nombres
Système hexadécimal	Informatique, traitement de données

Conversion entre systèmes de numération

Conversion au système décimal

Un nombre est donné dans un système de numération quelconque et doit être converti en nombre décimal.

MÉTHODE

1.

Détermine la base $b$ du système de numération et les chiffres $a_i$ du nombre donné.

2.

Saisis la formule suivante en utilisant les chiffres du nombre donné et la base :

$Z=a_0\cdot b^0+a_1\cdot b^1+a_2\cdot b^2+a_3\cdot b^3+...+a_n\cdot b^n$ 

Remarque 1 : $a...$ représente les chiffres du nombre donné. Fais attention de lire les chiffres de droite à gauche.

Remarque 2 : L’index indique la place du chiffre. On écrit $0$ pour la première place, $1$ pour la deuxième etc.

3.

Calcule la valeur de la formule.

Exemple 1 : ${204}_{(8)}$ en octal

Base : $b=16$ 

Valeurs des chiffres : $a_0=4,a_1=C=12,a_2=1$ 

En système décimal :

$Z=4\cdot8^0+0\cdot8^1+2\cdot8^2={132}_{(10)}$ 

Exemple 2 : ${1C4}_{(16)}$ en hexadécimal

Base : $b=16$ 

Valeurs des chiffres : $a_0=4,a_1=C=12,a_2=1$ 

En système décimal :

$Z=4\cdot{16}^0+12\cdot{16}^1+1\cdot{16}^2={452}_{(10)}$ 

Conversion du système décimal en un autre système de numération

Un nombre est donné en système décimal et doit être converti en un autre système de base .

MÉTHODE

1.	Divise le nombre par la base et note le résultat avec le reste
2.	Divise à nouveau le résultat par la base et note le nouveau résultat avec le reste
3.	Répète l’étape 2 jusqu’à ce que le résultat soit zéro.
4.	Écris les valeurs résiduelles (les restes) dans l’ordre inverse. Le nombre obtenu est le nombre recherché dans le système de numération voulu.

Exemple 1 : ${935}_{(10)}$ en nombre hexadécimal

Nouvelle base : $b=16$ 

Division avec reste :

Mathématiques; Ensembles de nombres; 9e Harmos / CO; Systèmes de numération et conversions

Nombre hexadécimal :

${935}_{(10)}={3A7}_{(16)}$ 

Exemple 2 : ${67}_{(10)}$  en nombre binaire

Nouvelle base : $b=2$ 

Division avec reste :

Mathématiques; Ensembles de nombres; 9e Harmos / CO; Systèmes de numération et conversions

Nombre binaire :

${67}_{(10)}={1000011}_{(2)}$ 

Conversion générale

Pour convertir un nombre de n’importe quel système de numération en un autre on peut utiliser le système décimal comme étape intermédiaire.

Exemple : $104_{(5)}$ en nombre binaire

Calcule $104_{(5)}$ en décimal :

$4\cdot5^0+0\cdot5^1+2\cdot5^2={29}_{(10)}$ 

Calcule $29_{(10)}$ en binaire :

Mathématiques; Ensembles de nombres; 9e Harmos / CO; Systèmes de numération et conversions

Nombre binaire :

${29}_{(10)}=\ {11101}_{(2)}$ 