Plus grand diviseur commun (PGDC) et plus petit multiple commun (PPMC)

PGDC – Plus grand diviseur commun

Définition

Le PGDC de deux ou plusieurs nombres est le plus grand nombre par lequel les nombres sont divisibles. 

Exemple

PGDC de $$56$$​ et de $$84$$​ :

Diviseurs de $$\underline{56}$$​ : $$1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 8,\ 14,\ 28,\ 56$$​​

Diviseurs de 84 : $$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 12,\ 14,\ 21,\ 28,\ 42,\ 84$$​

Le PGDC est $$\underline{28}$$​.

Déterminer le PGDC

MÉTHODE

1. Décompose les nombres en leurs facteurs premiers (décomposition en produit de facteurs premiers)
   
2. Note les facteurs qui apparaissent dans chaque décomposition.
3. Multiplie ces facteurs

Exemple

PGDC de $$56$$​ et $$84$$​ :

Décomposition en produit de facteurs premiers :

Facteurs premiers en commun : deux fois $$2$$​ et une fois $$7$$​.

PGDC : $$2\cdot2\cdot7=28$$​

PPMC – Plus petit multiple commun

Définition

Le PPMC de deux ou plusieurs nombres est le plus petit nombre qui est divisible par les nombres donnés. 

Exemple

PPMC de $$12$$​ et $$16$$​ :

Multiples de $$\underline{12}$$​ : $$12,\ 24,\ 36,\ 48,\ 60,\ …$$​

Multiples de $$\underline{16}$$​ : $$16,\ 32,\ 48,\ 64,\ …$$​

Multiple commun : $$\underset{‾}{48}$$​

Déterminer le PPMC

MÉTHODE

1. Décompose les nombres en leurs facteurs premiers (décomposition en produit de facteurs premiers) 
   
2. Note combien de fois les facteurs apparaissent
3. Multiplie tous les facteurs
   1. chaque facteur avec lui-même autant de fois qu'il apparait ;
      
      
   2. puis tous les facteurs ensemble.
      

Exemple

PPMC de $$12$$​ et $$16$$​ :

Décomposition en produit de facteurs premiers :

Tous les facteurs premiers :

$$2$$​ : au maximum $$4$$​ fois

$$3$$​ : au maximum $$1$$​ fois  

PPMC : $$2^4\cdot3^1=48$$