Théorie des ensembles et diagramme de Venn

Ensembles et éléments

Un ensemble est une collection d’éléments. Par exemple, un élément peut être un nombre.

On écrit le contenu d’un ensemble entre deux accolades. Soit les éléments sont notés individuellement, soit leurs propriétés sont données.

Énumération	$A={2,3,4,5,6}$
Description	$A={x\in\mathbb{N}\ \|\ x\ est\ supérieur\ à\ 1\ et\ inférieur\ à\ 7}$

Égalité de deux ensembles

Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux, s’ils contiennent les mêmes éléments. On écrit : $A=B$ .

Appartenance

Si un élément $a$ est contenu dans l’ensemble $A$ , on écrit : $a\in A$ . Si $a$ n’est pas contenu dans $A$ , on écrit : $\ a\notin A$ .

Ensemble fini	L’ensemble contient un nombre fini d’éléments.
Ensemble infini	L’ensemble contient un nombre infini d’éléments.
Ensemble vide $\{\}$	L’ensemble vide ne contient aucun élément.
Univers	L’ensemble de tous les éléments considérés.

	L’ensemble $A$ est entièrement contenu dans l’ensemble $B$ . $A$ est un sous-ensemble de $B$ et $B$ est un sur-ensemble de $A$ . Chaque élément de $A$ est contenu dans $B$ .
	$A$ n’est pas un sous-ensemble de $B$ , si au moins un élément de $A$ n’est pas dans $B$ .

Remarque 1 : Si A et B n’ont aucun élément en commun, on dit qu’ils sont disjoints.

Remarque 2 : L’ensemble vide est un sous-ensemble de chaque ensemble

Intersection de $A$ et $B$	$A\cap B\\\{ {x\ \|\ x\in A\ et\ x\in B} \}$	Contient tous les éléments qui appartiennent à $A$ et $B.$
Union de $A$ et $B$	$A\cup B \\ \{{x\ \|\ x\in A\ ou\ x\in B}\}$	Contient tous les éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (ou aux deux).
Différence ensembliste de $A$ et $B$	$A\ \ B \\\{ {x\ \|\ x\in A\ et\ x\notin B} \}$	Contient tous les éléments de $A$ qui ne sont pas contenus dans $B$ .
Complémentaire de $A$	$A^c \ ou\ \bar{A}\\\{{x\ \|\ x\in G\ et\ x\notin A}\}$	Contient tous les éléments de l’ensemble de référence $G$ qui ne sont pas contenus dans $A.$

Les diagrammes de Venn décrivent les relations entre différents ensembles.

Deux Ensembles		Exemple : $A\cap B$
Trois Ensembles		Exemple : $A\cap B\cap C$