Principio de Arquímedes: Cálculo de volúmenes

​​Definición

El empuje $$E$$ que recibe un cuerpo total o parcialmente sumergido es una fuerza vertical ascendente igual al peso del fluido desalojado.

$$E=\rho_{\rm fluido}\cdot g \cdot V_{\rm sumergido}$$

Donde $$\rho_{\rm fluido}$$ es la densidad del fluido, $$g$$ es la gravedad y $$V_{\rm sumergido}$$ es el volumen sumergido del cuerpo en cuestión.

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Demostración

Esquema del Principio de Arquímedes.

Se comienza estudiando las fuerzas $$F_1$$ y $$F_2$$:

$$F_1=P_2\cdot S= \rho_{\rm líquido}\cdot g\cdot h_1\cdot S$$

$$F_2=P_2\cdot S= \rho_{\rm líquido}\cdot g\cdot h_2\cdot S$$

Como el empuje es $$E=F_2-F_1$$:

$$E= \rho_{\rm líquido}\cdot g\cdot h_2\cdot S- \rho_{\rm líquido}\cdot g\cdot h_1\cdot S = \rho_{\rm líquido}\cdot g\cdot (h_2-h_1)\cdot S$$

Como $$(h_2-h_1)$$ es la altura del cuerpo y $$S$$ la superficie:  

$$E=\rho_{\rm líquido} \cdot g \cdot V_{\rm sumergido}$$

De esta manera se demuestra el Principio de Arquímedes, observa que se podría continuar diciendo:

$$E=\rho_{\rm líquido}\cdot g\cdot V_{\rm sumergido}=m_{\rm líquido}\cdot g$$

Y de esta expresión se obtiene la frase: "El empuje es el peso del líquido desalojado"

Comportamiento de los cuerpos en fluidos

Cuando dejas un cuerpo en un líquido pueden darse tres situaciones: se hunde, flota o queda suspendido

Ejemplo

Un cubito de hielo de $$\it{10\ cm}$$ tiene una masa de $$\it{880\ g}$$ . ¿Cuál es el volumen sumergido? Asume que $$\it{\rho_{agua}=1000\ \cfrac{kg}{m^3}}$$ 

Primero hay que ver si flota o no el hielo:

$${V=0,10\ ^3=0,001\ m^3\implies \rho_{\rm hielo}=\cfrac{0,880}{0,001}=880\ \rm kg\cdot m^{-3}}<\rho_{\rm agua}$$ 

Como flota, en el equilibrio se cumple: $$\it{P=E}$$

$${P=E\implies 0,880\cdot \cancel{9,8}=1000\cdot \cancel{9,8}\cdot V_{\rm sumergido}\implies \underline{V_{\rm sumergido}=8,88\cdot 10\ ^{-4}\ \rm m^3}}$$ 

Solución:

$$\underline{\text{El volumen sumergido será } V_{\rm sumergido}=8,88\cdot 10^{-4}\ \rm m^3}$$​​