Oscilador armónico II: Péndulo simple

Péndulo simple 

Se estudia el péndulo simple como un movimiento armónico simple cuando un cuerpo de masa $$m$$ sujeto por una cuerda inextensible de longitud $$L$$ oscila libremente con un ángulo menor a los $$11º$$.

Período de oscilación de un péndulo simple

Se demuestra que si se cumplen las condiciones anteriores el período de un péndulo simple es:

​$$T=2\pi \sqrt{\cfrac{L}{g}}$$

Demostración

Comenzamos descomponiendo las fuerzas peso y tensión en los ejes X e Y:

​$$\begin{drcases} \rm {Eje\ X} \rightarrow -mg sen\theta=ma_x \\ \rm Eje\ Y \rightarrow T-mgcos\theta=0\end{drcases}$$

Se hacen dos suposiciones: al ser la oscilación menor a $$11º$$ el cuerpo solo se desplaza en el eje X y además, se aproxima el valor $$\rm sen\theta\approx \theta$$. Por lo tanto:

​$$\rm a_X=-g sen\theta\approx -g\theta=-g\cfrac{s}{L} \approx -g\cfrac{x}{L}$$​​

​

Se aplica esa aceleración a la fórmula del MAS:

​$$\rm a=-\omega^2\ x\implies -\cfrac{g}{L}\ x=-\omega^2\ x\implies \omega^2=\cfrac{g}{L}$$

Por último, se aplica la fórmula $$T=\cfrac{2\pi}{\omega}$$​

$$\rm \omega^2=\cfrac{(2\pi)^2}{T^2}=\cfrac{g}{L}\implies T^2=\cfrac{(2\pi)^2L}{g}\implies T=2\pi\sqrt{\cfrac{L}{g}}$$

​

El período de oscilación de un péndulo simple solo depende de su longitud y de la aceleración de la gravedad.