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Combinaciones y números combinatorios

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Vídeo Explicativo

Docente: José Ángel Barbado

Resumen

Combinaciones y números combinatorios

Números combinatorios

Los números combinatorios son aquellos números que se definen por medio de números factoriales.


El número combinatorio nnn sobre kkk representa el valor numérico de todas las combinaciones ordinarias de un conjunto de nnn​ elementos tomados en grupos de kkk, siendo tanto nnn​ como kkk números enteros y positivos y además,  n≥k≥0n \geq k \geq 0n≥k≥0​.


​(nk)=Cn,k=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = C_{n,k}=\cfrac{n!}{k!(n-k)!}(kn​)=Cn,k​=k!(n−k)!n!​ ​​


Recuerda que: Los números combinatorios también se denominan coeficientes binomiales, coeficientes binómicos o combinaciones.


Propiedades de números combinatorios

Los números combinatorios presentan las siguientes propiedades:


​(n0)=1(n1)=n(nn)=1(nn−1)=n(nn−1)=n\dbinom{n}{0}=1 \hspace{10mm}\dbinom{n}{1}=n \hspace{10mm} \dbinom{n}{n}=1 \hspace{10mm} \dbinom{n}{n-1}=n \hspace{10mm} \dbinom{n}{n-1}=n (0n​)=1(1n​)=n(nn​)=1(n−1n​)=n(n−1n​)=n​​
​(nk)=(nn−k) si n≥k\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\ si \ n \geq k (kn​)=(n−kn​) si n≥k​​
​(nk)+(nk+1)=(n+1k+1) si n>k\dbinom{n}{k} +\dbinom{n}{k+1} =\dbinom{n+1}{k+1}\ si \ n > k(kn​)+(k+1n​)=(k+1n+1​) si n>k​​
​(nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+ \dbinom{n-1}{k} (kn​)=(k−1n−1​)+(kn−1​)​​
​(nk−1)+(nk)=(n+1k) \dbinom{n}{k-1}+\dbinom{n}{k}= \dbinom{n+1}{k}(k−1n​)+(kn​)=(kn+1​)​​

​​

Combinaciones sin repetición

Las combinaciones sin repetición Cn,kC_{n,k}Cn,k​​de nnn​ elementos tomados de kkk​ en kkk, son los distintos grupos de kkk​ elementos diferentes tomados de entre los nnn elementos totales disponibles, tal que los grupos son distintos al variar en algún elemento y además, k≤nk \leq nk≤n​. 


​Cn,k=Vn,kPk=(nk)C_{n,k}= \cfrac{V_{n,k}}{P_k} = \dbinom{n}{k}Cn,k​=Pk​Vn,k​​=(kn​)​  ​​


Recuerda que: En las combinaciones sin repetición no entran todos los elementos ya que k≤nk \leq nk≤n, no se repiten los elementos y no importa el orden.


Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición CRn,kCR_{n,k}CRn,k​​ de nnn elementos tomados de kkk​ en kkk son los distintos grupos de kkk​ elementos tomados de entre los nnn​ elementos totales disponibles, tal que los grupos son distintos al variar en algún elemento.


​CRn,k=(n+k−1k)=(n+k−1)!k!(n−1)!CR_{n,k}= \dbinom{n+k-1}{k}= \cfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} CRn,k​=(kn+k−1​)=k!(n−1)!(n+k−1)!​​​



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Preguntas frecuentes

¿Qué son las combinaciones con repetición?

Las combinaciones con repetición de n elementos tomados de k​ en k son los distintos grupos de k​ elementos tomados de entre todos los n​ elementos totales disponibles, tal que los grupos son distintos al variar en algún elemento.

¿Qué son las combinaciones sin repetición?

Las combinaciones sin repetición ​de n​ elementos tomados de k​ en k, son los distintos grupos de k​ elementos diferentes tomados de entre los n​ elementos totales disponibles, tal que los grupos son distintos al variar en algún elemento.

¿Qué son los números combinatorios?

Se define número combinatorio n sobre k al valor numérico de las combinaciones ordinarias de un conjunto de n elementos tomados en grupos de k​, siendo tanto n​ como k​ números enteros y positivos.

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