Combinaciones y números combinatorios

Números combinatorios

Los números combinatorios son aquellos números que se definen por medio de números factoriales.

El número combinatorio $$n$$ sobre $$k$$ representa el valor numérico de todas las combinaciones ordinarias de un conjunto de $$n$$​ elementos tomados en grupos de $$k$$, siendo tanto $$n$$​ como $$k$$ números enteros y positivos y además,  $$n \geq k \geq 0$$​.

​$$\dbinom{n}{k} = C_{n,k}=\cfrac{n!}{k!(n-k)!}$$ ​​

Recuerda que: Los números combinatorios también se denominan coeficientes binomiales, coeficientes binómicos o combinaciones.

Propiedades de números combinatorios

Los números combinatorios presentan las siguientes propiedades:

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Combinaciones sin repetición

Las combinaciones sin repetición $$C_{n,k}$$​de $$n$$​ elementos tomados de $$k$$​ en $$k$$, son los distintos grupos de $$k$$​ elementos diferentes tomados de entre los $$n$$ elementos totales disponibles, tal que los grupos son distintos al variar en algún elemento y además, $$k \leq n$$​. 

​$$C_{n,k}= \cfrac{V_{n,k}}{P_k} = \dbinom{n}{k}$$​  ​​

Recuerda que: En las combinaciones sin repetición no entran todos los elementos ya que $$k \leq n$$, no se repiten los elementos y no importa el orden.

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición $$CR_{n,k}$$​ de $$n$$ elementos tomados de $$k$$​ en $$k$$ son los distintos grupos de $$k$$​ elementos tomados de entre los $$n$$​ elementos totales disponibles, tal que los grupos son distintos al variar en algún elemento.

​$$CR_{n,k}= \dbinom{n+k-1}{k}= \cfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$$​​