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Ajuste por mínimos cuadrados: Regresión Lineal

Ajuste por mínimos cuadrados: Regresión Lineal

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Proporcionalidad y porcentajes


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Docente: Paula

Resumen

Ajuste por mínimos cuadrados: Regresión Lineal

Recta de regresión lineal

La recta de regresión lineal indica la correlación de los datos en una nube de puntosAdemás, proporciona los datos para calcular una de las variables a partir de los datos ya obtenidos. 


yyˉ=SxySx2(xxˉ)y-\bar{y}=\cfrac{S_{xy}}{S_x^2}\cdot(x-\bar{x})​​


Para calcular la recta de regresión es necesario conocer:

media

xˉ=xiNyˉ=yjN\=x=\cfrac{\sum x_i}{N} \hspace{10mm} \=y=\cfrac{\sum y_j}{N}​​

covarianza

​​Sxy=xiyjN(xˉyˉ)S_{xy}=\cfrac{\sum x_iy_j}{N}-(\bar{x}\cdot\bar{y})​​

varianza

Sx2=xi2Nxˉ2S_x^2=\cfrac{\sum x_i^2}{N}-\bar{x}^2​​

Coeficiente de correlación

r=SxySxSyr=\cfrac{S_{xy}}{S_x\cdot S_y}​​

​​

​Recuerda que: si rr​ es cercano a 1\it 1​, el ajuste es bueno y la dispersión es baja, mientras que si r\it r​ es cercano a 0\it 0​, es malo y la dispersión es muy alta.


Para calcular la recta de regresión lineal y todos los parámetros estadísticos relacionados debes seguir el siguiente procedimiento: 


Procedimiento

1.

Identifica en tu tabla de datos las variables xix_i e yiy_i.​

2.

Añade a tu tabla de datos tres filas más para calcular xi2,yi2 e (xiyi)x_i^2, y_i^2 \ \text e \ (x_i\cdot y_i)

3.

Suma todos los valores en una columna para obtener el sumatorio de todos tus cálculos. 

4. 

Calcula la media aritmética (xˉ,yˉ)(\=x, \=y) de cada una de las variables. ​​

5.

Calcula la varianza (Sx2S_x^2 y Sy2S_y^2) aplicando la fórmula

6.

Calcula la desviación típica  (Sx y SyS_x \ \text y \ S_y) y la covarianza (Sxy)(S_{xy}), aplicando las fórmulas.
Recuerda que: la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

7.

Calcula el coeficiente de relación (r)(r) aplicando la fórmula y estima si es necesario calcular la recta de regresión o no. 

8. 

Si es óptimo, sustituye los datos en la expresión general de la recta de regresión lineal. ​


Recuerda que: lo que tienes que obtener para calcular la recta de regresión lineal es diferente si te piden la recta de yy sobre xx, o la dexx sobre yy.


Ejemplo

En el instituto se ha realizado una encuesta para conocer el número de taquillas (xi)(x_i)​ que los alumnos (yi)(y_i)​ necesitan en cada clase. Partiendo de estos datos, calcula la recta de regresión de yy sobre xx


Primero, amplía la tabla y calcula xi2,yi2x_i^2, y_i^2xiyix_i\cdot y_i y el número total de datos, así como el sumatorio de las variables anteriores:


Total

 xi\bf x_i
55
22​​
44​​
33​​
66​​
 2020​​
yi\bf y_i
1010​​
33​​
33​​
22​​
11​​
 1919​​
xi2\bf x_i^2​​
2525​​
44​​
1616​​
99​​
3636​​
 9090​​
yi2\bf y_i^2​​
100100​​
99​​
99​​
44​​
11​​
 123123​​
xiyi\bf x_i\cdot y_i​​
5050​​
66​​
1212​​
66​​
66​​
 8080​​


Calcula la media: xˉ=xiN=205=4\bar{x}=\cfrac{\sum x_i}{N}=\cfrac{20}{5}=4 e yˉ=yiN=195=3,8\bar{y}=\cfrac{\sum y_i}{N}=\cfrac{19}{5}=3,8


Calcula la varianza: Sx2=xi2Nxˉ2=905(4)2=1816=2S_x^2=\cfrac{\sum x_i^2}{N}-\bar{x}^2=\cfrac{90}{5}-(4)^2=18-16=2


Calcula la covarianza: Sxy=xiyiN(xˉyˉ)=805(43,8)=1615,2=0,8S_{xy}=\cfrac{\sum x_i\cdot y_i}{N}-(\bar{x}\cdot\bar{y})=\cfrac{80}{5}-(4\cdot 3,8)=16-15,2=0,8

 ​​

Si sustituimos en la expresión general: 

y3,8=0,82(x4) y3,8=0,4(x4)y-3,8=\cfrac{0,8}{2}\cdot(x-4)\implies \underline{y-3,8=0,4\cdot(x-4)}


xix_i​​
11​​
22​​
33​​
44​​
fif_i​​
55​​
88​​
22​​

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Preguntas frecuentes

¿Qué significa que el coeficiente de correlación sea cercana a 1?

¿Qué parámetros hay que considerar en una dispersión?

¿Qué es una recta de regresión lineal?

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