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Vídeo Explicativo

Docente: Paula

Resumen

Dependencia y combinación lineal entre vectores

Combinación y dependencia lineal

Combinación lineal

Un vector, u→(u1,u2)\overrightarrow u(u_1,u_2)u(u1​,u2​)​ es combinación lineal de otros dos, v→(v1,v2)\overrightarrow v(v_1,v_2)v(v1​,v2​) y w→(w1,w2)\overrightarrow w(w_1,w_2)w(w1​,w2​), cuando la suma de estos multiplicados por dos números, hhh​ y kkk, da como resultado w→.\overrightarrow w.w.​

​u→=h⋅v→+k⋅w→\overrightarrow u =h\cdot\overrightarrow v+k\cdot\overrightarrow wu=h⋅v+k⋅w​​


Procedimiento

1.

Escribe los vectores, a→(ax,ay)\overrightarrow{a}(a_x,a_y)a(ax​,ay​)​ y b→(bx,by)\overrightarrow{b}(b_x,b_y)b(bx​,by​) como combinación lineal de u→(ux,uy)\overrightarrow{u}(u_x,u_y)u(ux​,uy​) donde hh h y kkk son números reales.
​h⋅(ax,ay)+k⋅(bx,by)=(ux,uy)h\cdot(a_x,a_y)+k\cdot(b_x,b_y)=(u_x,u_y)h⋅(ax​,ay​)+k⋅(bx​,by​)=(ux​,uy​)​​

2.

Multiplica los números hhh y kkk por las componentes de los vectores.
​(h⋅ax,h⋅ay)+(k⋅bx,k⋅by)=(ux,uy)(h\cdot a_x,h\cdot a_y)+(k\cdot b_x,k\cdot b_y)=(u_x,u_y)(h⋅ax​,h⋅ay​)+(k⋅bx​,k⋅by​)=(ux​,uy​)​​

3.

Iguala los elementos de las componentes xxx e yyy. 
​h⋅ax+k⋅bx=uxh\cdot a_x+k\cdot b_x=u_xh⋅ax​+k⋅bx​=ux​
h⋅ay+k⋅by=uyh\cdot a_y+k\cdot b_y=u_yh⋅ay​+k⋅by​=uy​​​​

4.

Resuelve el sistema de ecuaciones y obtendrás los valores de hhh y kkk que hacen que dichos vectores sean combinación lineal​


Ejemplo

¿Qué combinación lineal de a→(2,3)\overrightarrow{a}(2,3)a(2,3) y b→(1,4)\overrightarrow{b}(1,4)b(1,4) da como resultado el vector v→(8,2)\overrightarrow{v}(8,2)v(8,2)?


Expresa como combinación lineal:

​h⋅(2,3)+k⋅(1,4)=(8,2)h\cdot(2,3)+k\cdot(1,4)=(8,2)h⋅(2,3)+k⋅(1,4)=(8,2)

​(h⋅2,h⋅3)+(k⋅1,k⋅4)=(8,2)(h\cdot 2,h\cdot 3)+(k\cdot 1,k\cdot 4)=(8,2)(h⋅2,h⋅3)+(k⋅1,k⋅4)=(8,2)​​


Resuelve el sistema de ecuaciones:

2⋅h+k=83⋅h+4⋅k=2}\begin{drcases} 2\cdot h+k=8 \\ 3\cdot h+4\cdot k=2\end{drcases}2⋅h+k=83⋅h+4⋅k=2​}  →h=6k=−4\rightarrow h=6 \hspace{5mm}k=-4→h=6k=−4​​​


Se demuestra que v→\overrightarrow v v es combinación lineal de a→\overrightarrow aa y b→\overrightarrow bb:

v→=6⋅a→−4⋅b→‾\underline{\overrightarrow{v}=6\cdot\overrightarrow{a}-4\cdot\overrightarrow{b}}v=6⋅a−4⋅b​


Dependencia lineal

Dos vectores son linealmente dependientes si:

  • Se pueden expresar como combinación lineal del resto.
  • Son paralelos entre sí.
  • Sus componentes son proporcionales, es decir: v→=h⋅w→\overrightarrow v=h\cdot\overrightarrow wv=h⋅w​​


Ejemplo

Calcula si los vectores a→(4,2)\overrightarrow{a}(4,2)a(4,2) y b→(8,4)\overrightarrow{b}(8,4)b(8,4) son linealmente dependientes.


42=84=2→h=2\cfrac{4}{2}=\cfrac{8}{4}=2\rightarrow h=224​=48​=2→h=2  ​​


Como sus componentes son proporcionales son linealmente dependientes.


Independencia lineal

Dos vectores son linealmente independientes si:

  • ​No se pueden expresar como combinación lineal del resto
  • No son paralelos
  • Sus componentes no son proporcionales, es decir: v→≠ h⋅w→\overrightarrow v \neq\ h\cdot\overrightarrow wv= h⋅w​​


Ejemplo

Calcula si los vectores c→(3,5)\overrightarrow{c}(3,5)c(3,5) y d→(2,4)\overrightarrow{d}(2,4)d(2,4) son linealmente independientes.


 35≠24\cfrac{3}{5}\neq\cfrac{2}{4}53​=42​ 


Como no son proporcionales son vectores linealmente independientes.


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Preguntas frecuentes

¿Cuándo dos o más vectores son linealmente independientes?

Cuando no se pueden expresar como combinación lineal del resto. No son proporcionales y no son paralelos entre sí.

¿Cuándo dos o más vectores son linealmente dependiente?

Dos o más vectores son linealmente dependientes cuando son proporcionales y paralelos entre sí.

¿Qué es la combinación lineal de dos vectores?

Se dice que un vector (u1,u2) es combinación lineal de otros dos: (v1,v2) y (w1,w2), cuando al multiplicar estos dos últimos por escalares cualesquiera y sumarlos, se obtiene (u1,u2)

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