Dependencia y combinación lineal entre vectores

Combinación y dependencia lineal

Combinación lineal

Un vector, $$\overrightarrow u(u_1,u_2)$$​ es combinación lineal de otros dos, $$\overrightarrow v(v_1,v_2)$$ y $$\overrightarrow w(w_1,w_2)$$, cuando la suma de estos multiplicados por dos números, $$h$$​ y $$k$$, da como resultado $$\overrightarrow w.$$​

​$$\overrightarrow u =h\cdot\overrightarrow v+k\cdot\overrightarrow w$$​​

Procedimiento

Ejemplo

¿Qué combinación lineal de $$\overrightarrow{a}(2,3)$$ y $$\overrightarrow{b}(1,4)$$ da como resultado el vector $$\overrightarrow{v}(8,2)$$?

Expresa como combinación lineal:

​$$h\cdot(2,3)+k\cdot(1,4)=(8,2)$$

​$$(h\cdot 2,h\cdot 3)+(k\cdot 1,k\cdot 4)=(8,2)$$​​

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$$\begin{drcases} 2\cdot h+k=8 \\ 3\cdot h+4\cdot k=2\end{drcases}$$  $$\rightarrow h=6 \hspace{5mm}k=-4$$​​​

Se demuestra que $$\overrightarrow v$$ es combinación lineal de $$\overrightarrow a$$ y $$\overrightarrow b$$:

$$\underline{\overrightarrow{v}=6\cdot\overrightarrow{a}-4\cdot\overrightarrow{b}}$$

Dependencia lineal

Dos vectores son linealmente dependientes si:

• Se pueden expresar como combinación lineal del resto.
• Son paralelos entre sí.
• Sus componentes son proporcionales, es decir: $$\overrightarrow v=h\cdot\overrightarrow w$$​​

Ejemplo

Calcula si los vectores $$\overrightarrow{a}(4,2)$$ y $$\overrightarrow{b}(8,4)$$ son linealmente dependientes.

$$\cfrac{4}{2}=\cfrac{8}{4}=2\rightarrow h=2$$  ​​

Como sus componentes son proporcionales son linealmente dependientes.

Independencia lineal

Dos vectores son linealmente independientes si:

• ​No se pueden expresar como combinación lineal del resto
  
• No son paralelos
• Sus componentes no son proporcionales, es decir: $$\overrightarrow v \neq\ h\cdot\overrightarrow w$$​​

Ejemplo

Calcula si los vectores $$\overrightarrow{c}(3,5)$$ y $$\overrightarrow{d}(2,4)$$ son linealmente independientes.

 $$\cfrac{3}{5}\neq\cfrac{2}{4}$$ 

Como no son proporcionales son vectores linealmente independientes.