Dependencia y combinación lineal entre vectores

Combinación y dependencia lineal

Combinación lineal

Un vector, $\overrightarrow u(u_1,u_2)$ es combinación lineal de otros dos, $\overrightarrow v(v_1,v_2)$ y $\overrightarrow w(w_1,w_2)$ , cuando la suma de estos multiplicados por dos números, $h$ y $k$ , da como resultado $\overrightarrow w.$

$\overrightarrow u =h\cdot\overrightarrow v+k\cdot\overrightarrow w$

Procedimiento

1.	Escribe los vectores, $\overrightarrow{a}(a_x,a_y)$ y $\overrightarrow{b}(b_x,b_y)$ como combinación lineal de $\overrightarrow{u}(u_x,u_y)$ donde $h$ y $k$ son números reales. $h\cdot(a_x,a_y)+k\cdot(b_x,b_y)=(u_x,u_y)$
2.	Multiplica los números $h$ y $k$ por las componentes de los vectores. $(h\cdot a_x,h\cdot a_y)+(k\cdot b_x,k\cdot b_y)=(u_x,u_y)$
3.	Iguala los elementos de las componentes $x$ e $y$ . $h\cdot a_x+k\cdot b_x=u_x$ $h\cdot a_y+k\cdot b_y=u_y$
4.	Resuelve el sistema de ecuaciones y obtendrás los valores de $h$ y $k$ que hacen que dichos vectores sean combinación lineal

Ejemplo

¿Qué combinación lineal de $\overrightarrow{a}(2,3)$ y $\overrightarrow{b}(1,4)$ da como resultado el vector $\overrightarrow{v}(8,2)$ ?

Expresa como combinación lineal:

$h\cdot(2,3)+k\cdot(1,4)=(8,2)$

$(h\cdot 2,h\cdot 3)+(k\cdot 1,k\cdot 4)=(8,2)$

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$\begin{drcases} 2\cdot h+k=8 \\ 3\cdot h+4\cdot k=2\end{drcases}$ $\rightarrow h=6 \hspace{5mm}k=-4$

Se demuestra que $\overrightarrow v$ es combinación lineal de $\overrightarrow a$ y $\overrightarrow b$ :

$\underline{\overrightarrow{v}=6\cdot\overrightarrow{a}-4\cdot\overrightarrow{b}}$

Dependencia lineal

Dos vectores son linealmente dependientes si:

Se pueden expresar como combinación lineal del resto.
Son paralelos entre sí.
Sus componentes son proporcionales, es decir: $\overrightarrow v=h\cdot\overrightarrow w$

Ejemplo

Calcula si los vectores $\overrightarrow{a}(4,2)$ y $\overrightarrow{b}(8,4)$ son linealmente dependientes.

$\cfrac{4}{2}=\cfrac{8}{4}=2\rightarrow h=2$ 

Como sus componentes son proporcionales son linealmente dependientes.

Independencia lineal

Dos vectores son linealmente independientes si:

No se pueden expresar como combinación lineal del resto
No son paralelos
Sus componentes no son proporcionales, es decir: $\overrightarrow v \neq\ h\cdot\overrightarrow w$

Ejemplo

Calcula si los vectores $\overrightarrow{c}(3,5)$ y $\overrightarrow{d}(2,4)$ son linealmente independientes.

$\cfrac{3}{5}\neq\cfrac{2}{4}$

Como no son proporcionales son vectores linealmente independientes.