Un vector, u(u1,u2) es combinación lineal de otros dos, v(v1,v2) y w(w1,w2), cuando la suma de estos multiplicados por dos números, h y k, da como resultado w.
u=h⋅v+k⋅w
Procedimiento
1.
Escribe los vectores, a(ax,ay) y b(bx,by) como combinación lineal de u(ux,uy) donde h y k son números reales.
h⋅(ax,ay)+k⋅(bx,by)=(ux,uy)
2.
Multiplica los números h y k por las componentes de los vectores.
(h⋅ax,h⋅ay)+(k⋅bx,k⋅by)=(ux,uy)
3.
Iguala los elementos de las componentes x e y.
h⋅ax+k⋅bx=ux
h⋅ay+k⋅by=uy
4.
Resuelve el sistema de ecuaciones y obtendrás los valores de h y k que hacen que dichos vectores sean combinación lineal
Ejemplo
¿Qué combinación lineal de a(2,3) y b(1,4) da como resultado el vector v(8,2)?
Expresa como combinación lineal:
h⋅(2,3)+k⋅(1,4)=(8,2)
(h⋅2,h⋅3)+(k⋅1,k⋅4)=(8,2)
Resuelve el sistema de ecuaciones:
2⋅h+k=83⋅h+4⋅k=2}→h=6k=−4
Se demuestra que v es combinación lineal de a y b:
v=6⋅a−4⋅b
Dependencia lineal
Dos vectores son linealmente dependientes si:
Se pueden expresar como combinación lineal del resto.
Son paralelos entre sí.
Sus componentes son proporcionales, es decir: v=h⋅w
Ejemplo
Calcula si los vectores a(4,2) y b(8,4) son linealmente dependientes.
24=48=2→h=2
Como sus componentes son proporcionales son linealmente dependientes.
Independencia lineal
Dos vectores son linealmente independientes si:
No se pueden expresar como combinación lineal del resto
No son paralelos
Sus componentes no son proporcionales, es decir: v=h⋅w
Ejemplo
Calcula si los vectores c(3,5) y d(2,4) son linealmente independientes.
53=42
Como no son proporcionales son vectores linealmente independientes.
¿Cuándo dos o más vectores son linealmente independientes?
Cuando no se pueden expresar como combinación lineal del resto. No son proporcionales y no son paralelos entre sí.
¿Cuándo dos o más vectores son linealmente dependiente?
Dos o más vectores son linealmente dependientes cuando son proporcionales y paralelos entre sí.
¿Qué es la combinación lineal de dos vectores?
Se dice que un vector (u1,u2) es combinación lineal de otros dos: (v1,v2) y (w1,w2), cuando al multiplicar estos dos últimos por escalares cualesquiera y sumarlos, se obtiene (u1,u2)
