Operaciones con vectores: Suma, resta y producto

Suma y resta de vectores

Para sumar o restar dos vectores $$\overrightarrow{u}$$ y $$\overrightarrow{v}$$ tienes que sumar o restar sus componentes:

​$$\overrightarrow{u} \pm \overrightarrow{v} = (u_1,u_2)\pm(v_1,v_2)=(u_1\pm v_1,u_2\pm v_2)$$​​

Recuerda que: Los vectores también cumplen las propiedades conmutativa y asociativa de la suma.

Suma de vectores gráficamente

Existen dos formas de sumar gráficamente dos vectores $$\overrightarrow{u}$$ y $$\overrightarrow{v}$$:

• Regla del extremo-origen
  
• Regla del paralelogramo

Procedimiento

	Regla del extremo-origen
1.	​Haz coincidir el extremo de $$\overrightarrow{u}$$​ con el origen de $$\overrightarrow{v}$$​..
2.	​El vector suma tiene su origen en el origen de $$\overrightarrow{u}$$​ y su extremo en el extremo de $$\overrightarrow{v}$$​.
3.	Puedes usar este procedimiento para sumar tantos vectores como quieras

​

Procedimiento

	Regla del paralelogramo
1.	Toma los dos vectores y únelos en el mismo origen.	​
2.	Traza paralelas a ambos por sus extremos para obtener un paralelogramo.
3.	La diagonal es la suma de los vectores.

​​

Resta de vectores gráficamente

Para restar gráficamente dos vectores $$\overrightarrow{u}$$​ y $$\overrightarrow{v}$$​ puedes hacerlo de dos formas:

• Regla de los opuestos
  
• Regla del triángulo (o de los extremos)

Procedimiento

	Regla de los opuestos
1.	Halle el opuesto de $$\overrightarrow{v}$$​ y haz coincidir su origen con el extremo de $$\overrightarrow{u}$$​.
2.	​El vector resta tiene su origen en el origen de $$\overrightarrow{u}$$​ y su extremo en el extremo de $$-\overrightarrow{v}$$​.

​

procedimiento

	Regla de los extremos o del triángulo
1.	Toma los dos vectores y únelos en el mismo origen.
2.	El vector resta tiene su origen en el extremo de $$\overrightarrow{v}$$​ y su extremo en el extremo de $$\overrightarrow{u}$$​.

Multiplicación de vectores

Multiplicación de un escalar por un vector

Se multiplica cada componente por el escalar:

$$k · \overrightarrow{u} = (k·u_1,k·u_2)$$​​

El vector $$k\cdot\overrightarrow u$$ tendrá:

• Si $$k>0 \rightarrow$$ Misma dirección, mismo sentido y módulo tantas veces mayor como sea el valor de $$k$$.
• Si $$k<0 \rightarrow$$ Misma dirección, sentido contrario y módulo tantas veces mayor como sea el valor de $$k.$$​​

​​​

​Producto escalar de vectores

Para multiplicar dos vectores $$\overrightarrow{u}$$​ y $$\overrightarrow{v}$$ tienes que multiplicar sus respectivos módulos por el coseno del ángulo $$\theta$$​ que forman:

​$$\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v} =u_1·v_1+u_2·v_2= |\overrightarrow{u}| · |\overrightarrow{v}|·cos~\theta$$​​

Recuerda que: si el productor escalar de dos vectores es $$\it0$$, significa que son perpendiculares entre sí $$(\it cos\ \theta=0\rightarrow\theta=90\degree)$$​