Círculo goniométrico: Reducción al primer cuadrante

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Para calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo necesitas emplear la circunferencia goniométrica. Esta circunferencia se encuentra en el plano cartesiano con sus $4$ cuadrantes y tiene centro $0$ y radio $1$ .

A partir de un punto $P (x,y)$ , las razones trigonométricas del ángulo $\alpha$ delimitado por el semieje positivo de abscisas y el segmento $\rm OP$ que une $0(0,0)$ y $P(x,y)$ se calcula:

$sen ~\alpha = \cfrac{ordenada}{radio} = \cfrac{y}{1} = y$
$cos ~\alpha = \cfrac{abscisa}{radio} = \cfrac{x}{1} = x$
$tg ~\alpha = \cfrac{ordenada}{abscisa} = \frac{y}{x}$

Recuerda que: el seno y coseno van a tener siempre valores comprendidos entre $1$ y $-1$ .

Signos de las razones trigonométricas por cuadrantes

Según el cuadrante las razones trigonométricas tienen diferentes signos ya que dependen de los signos de las ordenadas ( $y$ ) y de las abscisas ( $x$ ) del ángulo que estés calculando.

	Primer cuadrante	segundo cuadrante	tercer cuadrante	cuarto cuadrante
seno	$+$	$+$	$-$	$-$
coseno	$+$	$-$	$-$	$+$
tangente	$+$	$-$	$+$	$-$

Razones trigonométricas de ángulos coincidentes con los ejes

Aquí tienes una tabla resumen de las razones trigonométricas de los ángulos coincidentes con los ejes del plano cartesiano:

ángulos	seno	coseno	tangente
$\bf 0º$	$0$	$1$	$0$
$\bf 90º$	$1$	$0$	No existe
$\bf180º$	$0$	$-1$	$0$
$\bf270º$	$-1$	$0$	No existe

Recuerda que: las razones trigonométricas se cuentan en la primera vuelta, ya que se repiten. Por ejemplo, para un ángulo de $0\degree$ serán las mismas que para $360\degree$ .

Reducción al primer cuadrante

Reducción del segundo al primer cuadrante

	$sen (180º - \alpha) = sen~\alpha$
	$cos (180º - \alpha) = -cos~\alpha$
	$tg(180º - \alpha) = -tg~\alpha$

Reducción del tercer al primer cuadrante

	$sen (180º + \alpha) = -sen~\alpha$
	$cos (180º + \alpha) = -cos~\alpha$
	$tg (180º + \alpha) = tg~\alpha$

Reducción del cuarto al primer cuadrante

	$sen (- \alpha) = -sen~\alpha$
	$cos (- \alpha) = cos~\alpha$
	$tg (- \alpha) = -tg~\alpha$

Truco: Si el ángulo que quieres calcular es mayor que $360º$ simplemente tienes que dividirlo entre $360$ . El cociente que obtienes es el número de vueltas que da tu ángulo, mientras que el resto es el ángulo simplificado con el que ya puedes operar.