Identidades o relaciones trigonométricas principales

Relaciones trigonométricas principales

Las razones trigonométricas guardan relación entre sí, por lo que si conoces una de ellas puedes calcular fácilmente el resto.

Demostración de las relaciones trigonométricas principales

Relación fundamental de la trigonometría

Teniendo en cuenta las definiciones de seno y coseno y el teorema de Pitágoras: 

​$$\text{sen} ~\alpha = \cfrac{c}{a} \hspace{10mm}cos ~\alpha = \cfrac{b}{a} \hspace{10mm} a^2 = b^2 + c^2$$​ 

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La relación fundamental de la trigonometría es:

​$$\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = \bigg (\cfrac{c}{a} \bigg )^2 + \bigg (\cfrac{b}{a} \bigg )^2 = \cfrac{c^2}{a^2} \ + \cfrac{b^2}{a^2} = \cfrac{c^2+b^2}{a^2} = \cfrac{a^2}{a^2} = 1$$

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​$$\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$​​

Relación entre la tangente y el coseno

Se obtiene dividiendo la relación fundamental de la trigonometría entre $$\cos^2\alpha$$​:

​$$\cfrac{\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \cfrac{1}{\cos^2\alpha} \rightarrow$$​ $$\cfrac{\text{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \cfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \cfrac{1}{\cos^2\alpha}$$​

​$$1 + \tg^2 \alpha = \cfrac{1}{\cos^2\alpha}$$​​

Relación entre la cotangente y el seno

Se obtiene dividiendo la relación fundamental de la trigonometría entre $$\text{sen}^2\alpha$$:

​$$\cfrac{\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha}{\text{sen}^2\alpha} = \cfrac{1}{\text{sen}^2\alpha} \rightarrow$$​ $$\cfrac{sen^2\alpha}{sen^2\alpha} + \cfrac{cos^2\alpha}{sen^2\alpha} = \cfrac{1}{sen^2\alpha}$$​ 

​$$1 + \cotg^2 \alpha = \cfrac{1}{\text{sen}^2\alpha}$$​​

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Recuerda que: $$\text{sen}^2\alpha$$ es lo mismo que $$(\text{sen}~ \alpha)^2$$, y de forma análoga para el coseno, la tangente y la cotangente.

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