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Trigonometría

Identidades o relaciones trigonométricas principales

Identidades o relaciones trigonométricas principales

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Proporcionalidad y porcentajes


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Docente: José Ángel Barbado

Resumen


Identidades o relaciones trigonométricas principales

Relaciones trigonométricas principales

Las razones trigonométricas guardan relación entre sí, por lo que si conoces una de ellas puedes calcular fácilmente el resto.

Matemáticas; Trigonometría; 4. ESO; Identidades o relaciones trigonométricas principales

Relación entre tangente, seno y coseno

tg α=sen αcos α\tg~ \alpha = \cfrac{\text{sen}~ \alpha}{\cos~ \alpha}​​

Relación fundamental de la trigonometría

sen2α+cos2α=1\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1​​

Relación entre tangente y coseno

1+tg2α=1cos2α1 + \tg^2 \alpha = \cfrac{1}{\cos^2\alpha}​​

Relación entre cotangente y seno

1+cotg2α=1sen2α1 + \cotg^2 \alpha = \cfrac{1}{\text{sen}^2\alpha}​​


Demostración de las relaciones trigonométricas principales

Relación fundamental de la trigonometría

Teniendo en cuenta las definiciones de seno y coseno y el teorema de Pitágoras

sen α=cacos α=baa2=b2+c2\text{sen} ~\alpha = \cfrac{c}{a} \hspace{10mm}cos ~\alpha = \cfrac{b}{a} \hspace{10mm} a^2 = b^2 + c^2​ 

​​

La relación fundamental de la trigonometría es:

sen2α+cos2α=(ca)2+(ba)2=c2a2 +b2a2=c2+b2a2=a2a2=1\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = \bigg (\cfrac{c}{a} \bigg )^2 + \bigg (\cfrac{b}{a} \bigg )^2 = \cfrac{c^2}{a^2} \ + \cfrac{b^2}{a^2} = \cfrac{c^2+b^2}{a^2} = \cfrac{a^2}{a^2} = 1

​​

sen2α+cos2α=1\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1​​


Relación entre la tangente y el coseno

Se obtiene dividiendo la relación fundamental de la trigonometría entre cos2α\cos^2\alpha ​:


sen2α+cos2αcos2α=1cos2α\cfrac{\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \cfrac{1}{\cos^2\alpha} \rightarrow​ sen2αcos2α+cos2αcos2α=1cos2α\cfrac{\text{sen}^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \cfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \cfrac{1}{\cos^2\alpha}

1+tg2α=1cos2α1 + \tg^2 \alpha = \cfrac{1}{\cos^2\alpha}​​


Relación entre la cotangente y el seno

Se obtiene dividiendo la relación fundamental de la trigonometría entre sen2α\text{sen}^2\alpha :


sen2α+cos2αsen2α=1sen2α\cfrac{\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha}{\text{sen}^2\alpha} = \cfrac{1}{\text{sen}^2\alpha} \rightarrow​ sen2αsen2α+cos2αsen2α=1sen2α\cfrac{sen^2\alpha}{sen^2\alpha} + \cfrac{cos^2\alpha}{sen^2\alpha} = \cfrac{1}{sen^2\alpha}​ 

1+cotg2α=1sen2α1 + \cotg^2 \alpha = \cfrac{1}{\text{sen}^2\alpha}​​


Recuerda que: sen2α\text{sen}^2\alpha  es lo mismo que (sen α)2(\text{sen}~ \alpha)^2, y de forma análoga para el coseno, la tangente y la cotangente.

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Ejercicios

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la relación entre la cotangente y el seno?

¿Cuál es la relación entre la tangente y el coseno?

¿Cuál es la relación fundamental de la trigonometría?

¿Para qué sirven las relaciones trigonométricas?

Beta

Soy Vulpy, ¡tu compañero de estudio de IA! Aprendamos juntos.