¿Qué es un punto de inflexión?

Un punto de inflexión se encuentra entre dos tramos de una función que tienen distinta curvatura.

¿Cómo se diferencia una función cóncava de una convexa?

La función cóncava normalmente tiene forma de arco y la función convexa tiene forma de "u".

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Matemáticas

Curvatura y puntos de inflexión de una función

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Curvatura y puntos de inflexión de una función

Propiedades de las funciones

Estudiar la curvatura de una función

Para conocer la curvatura de una función, hay que identificar sus intervalos de concavidad y convexidad.

Funciones convexas

Una función es convexa en un intervalo $(a,b)$ si para cualquier par de valores de ese intervalo, $x_1$ y $x_2$ , el segmento rectilíneo que une el punto $A(x_1,f(x_1))$ con el punto $B (x_2,f(x_2)$ queda por encima de la gráfica de $f(x)$ .

Matemáticas; Funciones; 4. ESO; Curvatura y puntos de inflexión de una función

Truco: Una forma fácil de identificar un intervalo de la función con curvatura convexa es que probablemente encuentres un mínimo en ese tramo de la función.

Funciones cóncavas

Una función es cóncava en un intervalo $(a,b)$ si para cualquier par de valores de ese intervalo, $x_1$ y $x_2$ , el segmento rectilíneo que une el punto $A(x_1,f(x_1))$ con el punto $B(x_2,f(x_2))$ queda por debajo de la gráfica de $f(x)$ .

Truco: Una forma fácil de identificar un intervalo de la función con curvatura cóncava es que probablemente encuentres un máximo en ese tramo de la función.

Puntos de inflexión

Cuando una función $f(x)$ cambia su curvatura, es decir, pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa en un punto $x=c$ , este será un punto de inflexión.

Ejemplo

Estudia la curvatura de la siguiente función:

Al haber un mínimo y un máximo, es probable que haya dos tipos de curvatura en esta función. Esto indica que necesariamente hay un punto de inflexión en la función.

La función es cóncava en el intervalo $\underline{(-\infty,0{,}5)}$ y convexa en el intervalo $\underline{(0{,}5,\infty)}$ . El punto de inflexión es el punto $\underline{(0{,}5,2{,}5)}$

Curvatura y puntos de inflexión de una función