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Curvatura y puntos de inflexión de una función

Curvatura y puntos de inflexión de una función

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Proporcionalidad y porcentajes


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Docente: Natalia

Resumen

Curvatura y puntos de inflexión de una función

Propiedades de las funciones

Estudiar la curvatura de una función

Para conocer la curvatura de una función, hay que identificar sus intervalos de concavidad y convexidad.


Funciones convexas

Una función es convexa en un intervalo (a,b)(a,b)​ si para cualquier par de valores de ese intervalo, x1x_1​ y x2x_2​, el segmento rectilíneo que une el punto A(x1,f(x1))A(x_1,f(x_1)) con el punto B(x2,f(x2)B (x_2,f(x_2)​ queda por encima de la gráfica de f(x)f(x)​.

Matemáticas; Funciones; 4. ESO; Curvatura y puntos de inflexión de una función

Truco: Una forma fácil de identificar un intervalo de la función con curvatura convexa es que probablemente encuentres un mínimo en ese tramo de la función.


Funciones cóncavas

Una función es cóncava en un intervalo (a,b)(a,b)​ si para cualquier par de valores de ese intervalo, x1x_1​ y x2x_2​, el segmento rectilíneo que une el punto A(x1,f(x1))A(x_1,f(x_1))​ con el punto B(x2,f(x2))B(x_2,f(x_2))​ queda por debajo de la gráfica de f(x)f(x).​

Matemáticas; Funciones; 4. ESO; Curvatura y puntos de inflexión de una función

Truco: Una forma fácil de identificar un intervalo de la función con curvatura cóncava es que probablemente encuentres un máximo en ese tramo de la función.


Puntos de inflexión

Cuando una función f(x)f(x)cambia su curvatura, es decir, pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa en un punto x=cx=c​, este será un punto de inflexión.

Matemáticas; Funciones; 4. ESO; Curvatura y puntos de inflexión de una función

Ejemplo

Estudia la curvatura de la siguiente función:

Matemáticas; Funciones; 4. ESO; Curvatura y puntos de inflexión de una función

Al haber un mínimo y un máximo, es probable que haya dos tipos de curvatura en esta función. Esto indica que necesariamente hay un punto de inflexión en la función.


La función es cóncava en el intervalo (,0,5)\underline{(-\infty,0{,}5)}  y convexa en el intervalo (0,5,)\underline{(0{,}5,\infty)}. El punto de inflexión es el punto (0,5,2,5)\underline{(0{,}5,2{,}5)}

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Preguntas frecuentes

¿Qué es un punto de inflexión?

¿Cómo se diferencia una función cóncava de una convexa?

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