Sistemas de ecuaciones no lineales

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales

Para resolver estos sistemas, es decir, cuando una o más incógnitas no son de primer grado, se aplican los mismos métodos que para los sistemas lineales.

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Método de sustitución

Tienes que despejar una incógnita de una de las dos ecuaciones y sustituir el resultado en la otra ecuación.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal mediante el método de sustitución:

$$\begin{aligned}x^2 +2y &= 6\\3x+3y &=9\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​

Se despeja la $$y$$ de la segunda ecuación, y se sustituye en la primera.

​$$\begin{aligned}x^2 +2y &= 6\\y =3&-x\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow x^2 +2(3-x)= 6\longrightarrow x^2 -2x= 0$$​​

La ecuación $$x^2 -2x = 0$$​ puede resolverse mediante la fórmula $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$, con lo que se obtienen los resultados $$x_{1}=2$$ y $$x_{2}=0$$.

​$$\begin{aligned}x^2 +2y &= 6\\y =3&-2\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow y=1 \hspace{2mm} \text{y, por otro lado:}\hspace{2mm} \begin{aligned}x^2 +2y &= 6\\y =3&-0\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow y =3$$​

Para cada valor de $$x$$​ hay otro valor de $$y$$ que cumple la igualdad, por lo tanto este sistema tiene dos soluciones $$\underline{(x_{1},y_{1})=(2,1);(x_{2},y_{2})=(0,3)}$$.

Método de igualación

Tienes que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar las dos expresiones.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal mediante el método de igualación:

$$\begin{aligned}x^2 +3y &= 1\\2x^2 -y&=9\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​

Se igualan, por ejemplo, los dos $$x^2$$​ para resolver $$y$$.

​$$\begin{aligned}x^2 +3y &= 1\\2x^2 -y&=9\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x^2&=1-3y\\x^2 &=\frac{9+y}{2}\end{aligned}\Bigg\rbrace\implies 2(1-3y)=9+y\implies y=-1$$​​

Ahora se puede sustituir el valor de $$y$$ en cualquier ecuación y resolver utilizando la fórmula para ecuaciones de segundo grado.

​$$x^2+3y=1 \implies x^2+3(-1)-1=0\implies x^2-4=0 \implies x=\pm2$$​​

En este caso, $$x$$​ tiene dos resultados posibles pero $$y$$ solamente uno, la solución es $$\underline{(x_{1},y_{1})=(4,-1);(x_{2},y_{2})=(-4,-1)}$$.

Método de reducción

Tienes que multiplicar las ecuaciones para que el coeficiente de una de las dos incógnitas sea igual pero del signo contrario. Así puedes sumar las dos ecuaciones para eliminar una incógnita.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal mediante el método de reducción:

​$$\begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​​

Sumas las dos ecuaciones para eliminar la $$y$$ y obtienes una ecuación de segundo grado con una incógnita.​

​$$\begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow \def\arraystretch{1} \begin{array}{c} \begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\\ \hline x^2+2x+0y=8\\ \end{array}\implies x^2+2x-8=0$$​​

La resuelves con la fórmula y obtienes los valores de $$(x_{1},x_{2})=(2,-4)$$​. Sustituyes estos dos valores en una ecuación para obtener los valores de $$y$$.

​$$\begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}2^2 -2y &= -2\\2(2) +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}3&= y\\3&=y\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​​

​$$\begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}(-4)^2 -2y &= -2\\2(-4) +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}y&=7\\y&=9\end{aligned}\Bigg\rbrace$$​​

El sistema sólo se cumple cuando $$x=2$$, por lo tanto la solución es$$\underline{(x,y)=(2,3)}$$.