Inicio

Matemáticas

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones no lineales

Sistemas de ecuaciones no lineales

Seleccionar lección

Proporcionalidad y porcentajes


Vídeo Explicativo

Loading...
Docente: Alberto

Resumen

Sistemas de ecuaciones no lineales

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales

Para resolver estos sistemas, es decir, cuando una o más incógnitas no son de primer grado, se aplican los mismos métodos que para los sistemas lineales.


Método de sustitución

Tienes que despejar una incógnita de una de las dos ecuaciones y sustituir el resultado en la otra ecuación.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal mediante el método de sustitución:

x2+2y=63x+3y=9}\begin{aligned}x^2 +2y &= 6\\3x+3y &=9\end{aligned}\Bigg\rbrace


Se despeja la yy de la segunda ecuación, y se sustituye en la primera.


x2+2y=6y=3x}x2+2(3x)=6x22x=0\begin{aligned}x^2 +2y &= 6\\y =3&-x\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow x^2 +2(3-x)= 6\longrightarrow x^2 -2x= 0​​


La ecuación x22x=0x^2 -2x = 0​ puede resolverse mediante la fórmula x1,2=b±b24ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, con lo que se obtienen los resultados x1=2x_{1}=2 y x2=0x_{2}=0.


x2+2y=6y=32}y=1y, por otro lado:x2+2y=6y=30}y=3\begin{aligned}x^2 +2y &= 6\\y =3&-2\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow y=1 \hspace{2mm} \text{y, por otro lado:}\hspace{2mm} \begin{aligned}x^2 +2y &= 6\\y =3&-0\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow y =3


Para cada valor de xx​ hay otro valor de yy que cumple la igualdad, por lo tanto este sistema tiene dos soluciones (x1,y1)=(2,1);(x2,y2)=(0,3)\underline{(x_{1},y_{1})=(2,1);(x_{2},y_{2})=(0,3)}.


Método de igualación

Tienes que despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar las dos expresiones.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal mediante el método de igualación:

x2+3y=12x2y=9}\begin{aligned}x^2 +3y &= 1\\2x^2 -y&=9\end{aligned}\Bigg\rbrace


Se igualan, por ejemplo, los dos x2x^2​ para resolver yy.


x2+3y=12x2y=9}x2=13yx2=9+y2}    2(13y)=9+y    y=1\begin{aligned}x^2 +3y &= 1\\2x^2 -y&=9\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x^2&=1-3y\\x^2 &=\frac{9+y}{2}\end{aligned}\Bigg\rbrace\implies 2(1-3y)=9+y\implies y=-1​​


Ahora se puede sustituir el valor de yy en cualquier ecuación y resolver utilizando la fórmula para ecuaciones de segundo grado.

x2+3y=1 x2+3(1)1=0 x24=0 x=±2x^2+3y=1 \implies x^2+3(-1)-1=0\implies x^2-4=0 \implies x=\pm2​​


En este caso, xx​ tiene dos resultados posibles pero yy solamente uno, la solución es (x1,y1)=(4,1);(x2,y2)=(4,1)\underline{(x_{1},y_{1})=(4,-1);(x_{2},y_{2})=(-4,-1)}.


Método de reducción

Tienes que multiplicar las ecuaciones para que el coeficiente de una de las dos incógnitas sea igual pero del signo contrario. Así puedes sumar las dos ecuaciones para eliminar una incógnita.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal mediante el método de reducción:

x22y=22x+2y=10}\begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace​​


Sumas las dos ecuaciones para eliminar la yy y obtienes una ecuación de segundo grado con una incógnita.​

x22y=22x+2y=10}x22y=22x+2y=10x2+2x+0y=8    x2+2x8=0\begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow \def\arraystretch{1} \begin{array}{c} \begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\\ \hline x^2+2x+0y=8\\ \end{array}\implies x^2+2x-8=0​​


La resuelves con la fórmula y obtienes los valores de (x1,x2)=(2,4)(x_{1},x_{2})=(2,-4). Sustituyes estos dos valores en una ecuación para obtener los valores de yy.


x22y=22x+2y=10}222y=22(2)+2y=10}3=y3=y}\begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}2^2 -2y &= -2\\2(2) +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}3&= y\\3&=y\end{aligned}\Bigg\rbrace​​


x22y=22x+2y=10}(4)22y=22(4)+2y=10}y=7y=9}\begin{aligned}x^2 -2y &= -2\\2x +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}(-4)^2 -2y &= -2\\2(-4) +2y&=10\end{aligned}\Bigg\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}y&=7\\y&=9\end{aligned}\Bigg\rbrace​​


El sistema sólo se cumple cuando x=2x=2, por lo tanto la solución es(x,y)=(2,3)\underline{(x,y)=(2,3)}.


Crear una cuenta para leer el resumen

Ejercicios

Crear una cuenta para empezar los ejercicios

Preguntas frecuentes

¿Cómo puedo resolver un sistema de ecuaciones no lineal?

¿Qué es un sistema de ecuaciones no lineal?

Beta

Soy Vulpy, ¡tu compañero de estudio de IA! Aprendamos juntos.