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Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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Proporcionalidad y porcentajes


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Docente: Alberto

Resumen

Método de Gauss: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de Gauss en sistemas de ecuaciones

Este permite resolver sistemas de ecuaciones de tres incógnitas creando ecuaciones equivalentes escalonadas. Es decir, la primera ecuación tiene el número máximo de incógnitas, la siguiente ecuación tiene una menos y así hasta llegar a la última, que tiene una única incógnita.


procedimiento

1.
Ordena las ecuaciones preferiblemente para que la primera ecuación tenga xx​ con coeficiente 11​.
2.
Modifica las dos últimas (multiplicando o dividiendo) para eliminar su variable xx​ al sumarlas.
3.
Con las dos nuevas ecuaciones de dos incógnitas haz lo mismo para eliminar la yy​.
4.
Ya tienes tu sistema de ecuaciones escalonado, ahora puedes resolverlo de abajo a arriba.


Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss.


2x+3yz=3x2y+2z=73x+2y3z=5}\begin{aligned}2x+3y-z&=-3\\x-2y+2z&=7\\3x+2y-3z&=-5\end{aligned}\Biggm\rbrace​​


Puedes cambiar el orden para que sea más cómodo operar. Lo ideal es dejar como primera ecuación una que tenga la xx​ con coeficiente 11.


2x+3yz=3x2y+2z=73x+2y3z=5}x2y+2z=72x+3yz=33x+2y3z=5}\begin{aligned}2x+3y-z&=-3\\x-2y+2z&=7\\3x+2y-3z&=-5\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x-2y+2z&=7\\2x+3y-z&=-3\\3x+2y-3z&=-5\end{aligned}\Biggm\rbrace​​


Con el objetivo de eliminar la xx de la segunda y la tercera ecuación (E2 y E3)(E_2 \ \text y \ E_3)​, primero resolveremos 2E1+E2-2E_1 +E_2 y luego 3E1+E3-3E_1+E_3.


x2y+2z=72x+3yz=33x+2y3z=5}2(x2y+2z=7)2x+3yz=30x+7y5z=17 7y5z=17\begin{aligned}x-2y+2z&=7\\2x+3y-z&=-3\\3x+2y-3z&=-5\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{array}{c}\begin{aligned}-2(x-2y+2z&=7)\\2x+3y-z&=-3\end{aligned}\\ \hline \begin{aligned}0x+7y-5z=-17\end{aligned}\\ \end{array}\implies7y-5z=-17​​


x2y+2z=72x+3yz=33x+2y3z=5}3(x2y+2z=7)3x+2y3z=50x+8y9z=26 8y9z=26\begin{aligned}x-2y+2z&=7\\2x+3y-z&=-3\\3x+2y-3z&=-5\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{array}{c}\begin{aligned}-3(x-2y+2z&=7)\\3x+2y-3z&=-5\end{aligned}\\ \hline \begin{aligned}0x+8y-9z=-26\end{aligned}\\ \end{array}\implies8y-9z=-26​​


El nuevo sistema queda así, pero hay que seguir escalonándolo.


x2y+2z=77y5z=178y9z=26}\begin{aligned}x-2y+2z&=7\\7y-5z&=-17\\8y-9z&=-26\end{aligned}\Biggm\rbrace​​


Mediante una reducción se elimina la yy.


8(7y5z=17)7(8y9z=26)}56y40z=13656y+63z=182}56y40z=13656y+63z=1820y+23z=46 23z=46\begin{aligned}8(7y-5z&=-17)\\-7(8y-9z&=-26)\end{aligned}\Biggm\rbrace\begin{aligned}56y-40z&=-136\\-56y+63z&=182\end{aligned}\Biggm\rbrace\begin{array}{c}\begin{aligned}56y-40z&=136\\-56y+63z&=182\end{aligned}\\ \hline \begin{aligned}0y+23z=46\end{aligned}\\ \end{array} \implies23z=46​​


Finalmente quedan las tres ecuaciones escalonadas.


2x+3yz=37y5z=1723z=46}\begin{aligned}2x+3y-z&=-3\\7y-5z&=-17\\23z&=46\end{aligned}\Biggm\rbrace​​


Ahora se resuelve de abajo a arriba:


2x+3yz=37y5z=1723z=46}2x+3yz=37y5z=17z=2}2x+3yz=37y5(2)=17z=2}\begin{aligned}2x+3y-z&=-3\\7y-5z&=-17\\23z&=46\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}2x+3y-z&=-3\\7y-5z&=-17\\z&=2\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}2x+3y-z&=-3\\7y-5(2)&=-17\\z&=2\end{aligned}\Biggm\rbrace\newline ​​

2x+3yz=3y=1z=2}2x+3(1)(2)=3y=1z=2}x=1y=1z=2}\begin{aligned}2x+3y-z&=-3\\y&=-1\\z&=2\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}2x+3(-1)-(2)&=-3\\y&=-1\\z&=2\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x&=1\\y&=-1\\z&=2\end{aligned}\Biggm\rbrace​​

La solución del sistema es(x,y,z)=(1,1,2)\underline{(x,y,z)=(1,-1,2)}


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