Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas

Para resolver un sistema de ecuaciones es necesario tener tantas ecuaciones como incógnitas. Para resolver un sistema de tres incógnitas, debes tener un mínimo de tres ecuaciones.

Método de sustitución

Tienes que despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir el resultado en otra ecuación.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de tres incógnitas mediante el método de sustitución:

​$$\begin{aligned}x+y-2z&=-3\\2x+2y-2z&=0\\x-2y+z&=0\end{aligned}\Biggm\rbrace$$​​

​

Despejas cualquier incógnita, en este caso la $$x$$ de la primera función porque es un cálculo sencillo.

​$$\begin{aligned}x+y-2z&=-3\\2x+2y-2z&=0\\x-2y+z&=0\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x=-y+2z&-3\\2x+2y-2z&=0\\x-2y+z&=0\end{aligned}\Biggm\rbrace$$​​

Se sustituye el valor de $$x$$ en las otras dos ecuaciones. De esta manera obtienes un sistema de ecuaciones de dos incógnitas.

​$$\begin{aligned}2(-y+2z-3)+2y-2z&=0\\(-y+2z-3)-2y+z&=0\end{aligned}\Biggm\rbrace$$​​

Desarrolla y simplifica el nuevo sistema para hallar los valores de $$y$$​ y de $$z$$​.

​$$\begin{aligned}-2y+4z-6+2y-2z&=0\\-y+2z-3-2y+z&=0\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}2z&=6\\-3y+3z&=3\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow(y,z)=(2,3)$$​​

Ahora sustituye los valores de​​ y de $$z$$ en la primera ecuación para obtener $$x$$​.

​$$x=-y+2z-3\implies x=-2+2(3)-3\implies x=-2+6-3=1$$​​

El resultado es $$\underline{(x,y,z)=(1,2,3)}$$

Método de igualación

Tienes que despejar la misma incógnita en dos ecuaciones y luego igualar las dos expresiones.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de tres incógnitas mediante el método de igualación:

​$$\begin{aligned}6x-3y+2z&=13\\2x+y+z&=7\\x-y-2z&=-3\end{aligned}\Biggm\rbrace$$​​

Se despeja, por ejemplo, la $$x$$​ de las ecuaciones.

​$$\begin{aligned}6x-3y+2z&=13\\2x+y+z&=7\\x-y-2z&=-3\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}x&=\cfrac{13+3y-2z}{6}\\x&=\cfrac{7-y-z}{2}\\x&=y+2z-3\end{aligned}$$​​

Selecciona dos de esas ecuaciones y úsalas para crear un sistema de ecuaciones de dos incógnitas.

​$$\begin{aligned}y+2z-3&=\cfrac{13+3y-2z}{6}\\y+2z-3&=\cfrac{7-y-z}{2}\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}6(y+2z-3)&=13+3y-2z\\2(y+2z-3)&=7-y-z\end{aligned}\Biggm\rbrace\newline\begin{aligned}6y+12z-18&=13+3y-2z\\2y+4z-6&=7-y-z\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow\begin{aligned}3y+14z&=31\\3y+5z&=13\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow(y,z)=(1,2)$$​​

Una vez resueltas dos incógnitas se introducen en una ecuación para calcular la tercera incógnita

​$$x=y+2z-3\implies x=1+2(2)-3=1$$​​

La solución es $$\underline{(x,y,z)=(2,1,2)}$$​​

Método de reducción

Tienes que multiplicar ecuaciones para que el coeficiente de una de las incógnitas sea igual pero del signo contrario. Así puedes sumar las dos ecuaciones para eliminar una incógnita.

Ejemplo

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de tres incógnitas mediante el método de reducción:

​$$\begin{aligned}3x+y-2z&=-5\\2x-y+3z&=3\\x+3y-z&=8\end{aligned}\Biggm\rbrace$$​​

Si te fijas, la $$y$$ de la primera y la segunda ecuación tienen ya el mismo coeficiente con el signo contrario

​$$\begin{aligned}3x+y-2z&=-5\\2x-y+3z&=3\end{aligned}\Biggm\rbrace\longrightarrow \begin{array}{c} \begin{aligned}3x+y-2z&=-5\\2x-y+3z&=3\end{aligned}\\ \hline \begin{aligned}5x+0y+z=-2\end{aligned}\\ \end{array}\implies 5x+z=-2$$​​

Ya tienes una ecuación con dos incógnitas, ahora hay que eliminar la $$y$$ utilizando otro par de ecuaciones para obtener tu segunda ecuación de dos incógnitas:

​​​$$\begin{aligned}-3(3x+y-2z&=-5)\\x+3y-z&=8\end{aligned}\Biggm\rbrace \begin{array}{c} \begin{aligned}-9x-3y+6z&=15\\x+3y-z&=8\end{aligned}\\ \hline \begin{aligned}-8x+0y+5z=23\end{aligned}\\ \end{array}\implies -8x+5z=23$$​​

Resuelve el nuevo sistema de ecuaciones de dos incógnitas:

​$$\begin{aligned}5x+z&=-2\\-8+5z&=33\end{aligned}\Biggm\rbrace(x,z)=(-1,3)$$​​

Finalmente introduce estos dos valores en una de las ecuaciones originales para averiguar $$y$$:

​$$3x+y-2z=-5\implies y=-5-3x+2z\implies y= -5-3(-1)+2(3) = 4$$​​

El resultado es $$\underline{(x,y,z)=(-1,4,3)}$$

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