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Logaritmos: Base y exponente

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Números racionales: Definición y tipos

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Vídeo Explicativo

Docente: Adrián

Resumen

Logaritmos: Base y exponente

Logaritmos y sus partes

Un logaritmo representa el exponente (yyy​) al que hay que elevar un número base (aaa​) para obtener otro número concreto (xxx) que se llama argumento.


​log⁡a(x)=y⇔ay=x\log_{a}(x)=y\Leftrightarrow a^y=x loga​(x)=y⇔ay=x 


La base de un logaritmo nunca puede ser negativa, ya que, la mayoría de las raíces de un número negativo no existen.


Ejemplo​

¿A qué número hay que elevar el número 5 para obtener el 625?


Esta pregunta es lo mismo que aplicar la definición de logaritmo:


 log⁡5(625)=x\log_{5}(625) = xlog5​(625)=x ​


625625625 es el resultado de multiplicar 5⋅5⋅5⋅55\cdot5\cdot5\cdot55⋅5⋅5⋅5 , por tanto:


​54=5⋅5⋅5⋅5=6255^4 = 5 \cdot5\cdot5\cdot5=62554=5⋅5⋅5⋅5=625


Y la solución al logaritmo es cuatro:


​log⁡5(625)=4\log_{5}(625)=4log5​(625)=4​​


Recuerda que: Si en la base no hay ningún numero (log⁡(x))\left(\log{(x)}\right)(log(x)) significa que la base es 101010.​


Propiedades de los logaritmos

1.
El logaritmo de 1 siempre es cero, independientemente de la base.
​log⁡a(1)=0\log_{a}(1)=0loga​(1)=0​​

2.
El logaritmo de base y argumento iguales, es siempre 1.
​log⁡a(a)=1\log_{a}(a)=1loga​(a)=1​​

3.
El logaritmo con argumento igual a la base elevada a un número es el número.
​log⁡a(an)=n\log_{a}(a^n)=nloga​(an)=n​​


Operaciones con logaritmos

Logaritmo del producto​​
​log⁡a(n⋅m)=log⁡a(n)+log⁡a(m)\log_{a}(n\cdot m)=\log_{a}(n)+\log_{a}(m)loga​(n⋅m)=loga​(n)+loga​(m)​​
Logaritmo del cociente
​log⁡a(nm)=log⁡a(n)−log⁡a(m)\log_{a}(\frac{n}{m})=\log_{a}(n)-\log_{a}(m)loga​(mn​)=loga​(n)−loga​(m)​​
Logaritmo de la potencia
​log⁡a(nm)=m⋅log⁡a(n)\log_{a}(n^m)=m\cdot \log_{a}(n)loga​(nm)=m⋅loga​(n)​​
Cambio de base de un logaritmo
​log⁡a(n)=log⁡c(n)log⁡c(a)\log_{a}(n)=\cfrac{\log_{c}(n)}{\log_{c}(a)}loga​(n)=logc​(a)logc​(n)​​​


Logaritmo decimal y neperiano

​​Logaritmo decimal

Los logaritmos más comunes son los logaritmos de base 101010 o decimales.


​log⁡10(x)=log⁡(x)=y⇔10y=x\log_{10}(x) = \log(x) = y \Leftrightarrow 10^y=xlog10​(x)=log(x)=y⇔10y=x​​


Ejemplo​

log⁡10(10)=log⁡(10)=1\log_{10}(10)=\log(10)=1log10​(10)=log(10)=1​​​


Logaritmo neperiano

Los logaritmos neperianos son aquellos logaritmos cuya base es el número eee .


log⁡e(x)=ln⁡(x)=y⇔ey=x ; donde, e=2,718...\log_{e}(x) = \ln(x) = y \Leftrightarrow e^y=x \text{ ; donde, } e=2,718...loge​(x)=ln(x)=y⇔ey=x ; donde, e=2,718...​​

​​

Ejemplo​

​log⁡e(2,718...)=ln⁡(2,718...)=1\log_{e}(2,718...)=\ln(2,718...)=1loge​(2,718...)=ln(2,718...)=1​​



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Logaritmos: Base y exponente

Unidad 1

Logaritmos: Base y exponente

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Preguntas frecuentes

¿Qué tipos de logaritmos hay?

Los logaritmos se clasifican según su base. Aunque la base de un logaritmo puede ser cualquier valor positivo, los más conocidos son logaritmo decimal (base 10) y logaritmo neperiano (base es el número e)

¿Puede la base de un logaritmo ser negativa?

No, la base de un logaritmo no puede ser negativa ya que las raíces de un número negativo no existen.

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